СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 521382

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник АВС, в ко­то­ром АВ = 4, Из­вест­но, что бо­ко­вая грань SBC пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию АВС, SB = SC, а вы­со­та пи­ра­ми­ды, про­ве­ден­ная из точки S, равна 112 . На реб­рах SB и SC от­ме­че­ны со­от­вет­ствен­но точки К и Р так, что ВК : SK = CP : SP = 1 : 3.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды плос­ко­стью АРК яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник.

б) Най­ди­те объем мень­шей части пи­ра­ми­ды, на ко­то­рые её делит плос­кость АРК.

Решение.

а) Пусть H — основание высоты треугольника ABC, проведенной из вершины . Введем координаты с началом в точке и с осями x, y, z, направленными вдоль прямых HC, HA, HS, соответственно (поскольку SB = SC, а высота пирамиды лежит в плоскости SBC, она совпадает с HC). Тогда координаты точек будут (поскольку , . Тогда

Значит,
. Поскольку , треугольник  — прямоугольный. б) Эти части — пирамиды с вершиой . Поскольку , меньший объем имеет нижняя часть.
Ответ:
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 204.
Методы геометрии: Метод координат
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем тела, Сечение -- треугольник, Сечение, проходящее через три точки, Треугольная пирамида