СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 521425

Внут­ри куба рас­по­ло­же­ны два рав­ных шара, ка­са­ю­щих­ся друга. При этом один шар ка­са­ет­ся трех гра­ней куба, име­ю­щих общую вер­ши­ну, а дру­гой ка­са­ет­ся трех остав­ших­ся гра­ней.

а) До­ка­жи­те, что цен­тры шаров при­над­ле­жат диа­го­на­ли куба, ис­хо­дя­щей из общей для гра­ней вер­ши­ны.

б) Най­ди­те ра­ди­у­сы этих шаров, если ребро куба равно 13.

Ре­ше­ние.

а) Центр шара рав­но­уда­лен от трех плос­ко­стей гра­ней куба. Мно­же­ство точек, рав­но­уда­лен­ных от двух плос­ко­стей — плос­кость (бис­сек­тор дву­гран­но­го угла). (на самом деле есть две такие плос­ко­сти, но нас сей­час ин­те­ре­су­ют толь­ко точки внут­ри куба). По­это­му нуж­ное нам мно­же­ство по­тен­ци­аль­ных цен­тров — пе­ре­се­че­ние трех бис­сек­то­ров, по­это­му оно не может быть боль­ше, чем пря­мая. Оче­вид­но все точки диа­го­на­ли куба под­хо­дят.

 

б) Пусть цен­тры шаров лежат на а ра­ди­у­сы шаров Тогда от­ку­да и

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 209.
Классификатор стереометрии: Куб, Система шаров