СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 521569

Назовем натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадает первая и последняя цифры, вторая и предпоследняя, и т.д. Например, числа 121 и 123321 являются палиндромами.

а) Приведите пример числа‐палиндрома, которое делится на 15

б) Сколько существует пятизначных чисел‐палиндромов, делящихся на 15?

в) Найдите 37‐е по величине число‐палиндром, которое делится 15.

Решение.

Чтобы число делилось на 15, оно должно делиться на 5 и на 3. Для делимости на 5 оно должно кончаться на 5 (или на 0, но для палиндромов это невозможно). Дляделимости на 3 его сумма цифр должна быть кратна

 

а) Например, 525.

 

б) Пусть это число Тогда кратно 3. Изучим остатки цифр и от деления на 3.

 

Если то причем можно сочетать любые варианты.

 

Если то причем можно сочетать любые варианты.

 

Если то причем можно сочетать любые варианты.

 

 

Значит, всего этих чисел

 

в) Трехзначные числа бывают только такие — Четырехзначные — только такие — Значит, всего Среди не более чем пяизначных чисел есть палиндромов. Осталось отсчитать третий с конца. Очевидно это число вида поэтому

 

Ответ: а) 525; б) 33; в) 59295.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 221.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства