Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521660

Из середины D гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведен луч, перпендикулярный к гипотенузе и пересекающий катет АС. На нем отложен отрезок DE, длина которого равна половине отрезка АВ. Длина отрезка СЕ равна 1 и совпадает с длиной одного из катетов.

а) Докажите, что угол АСЕ равен 45 градусов

б) Найдите площадь треугольника АВС.

Решение.

а) Описанная окружность треугольника ABC имеет точку D своим центром, поэтому E тоже лежит на этой окружности. По условию и теореме о вписанном угле имеем \angle ECA= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 \angle EDA= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 90 в степени \circ =45 в степени \circ , что и требовалось доказать.

б) Поскольку дуга CE является частью дуги CA меньшей 180 в степени \circ , то стягивающая ее хорда меньше хорды CA. Значит, CE=CB=1, при этом дуга CE равна четверти окружности. Значит, хорда длины 1 стягивает дугу 45 в степени \circ , откуда \angle BAC=22,5 в степени \circ , AC=\ctg 22,5 в степени \circ и площадь треугольника равна  дробь, числитель — \ctg 22,5 в степени \circ , знаменатель — 2 = дробь, числитель — 1 плюс косинус 45 в степени \circ , знаменатель — 2 синус 45 в степени \circ = дробь, числитель — 1 плюс корень из 2 , знаменатель — 2 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 1 плюс корень из 2 , знаменатель — 2 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 222.
Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг треугольника, Треугольники