СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 521693

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна а высота СС1 равна 7,5. На ребре B1C1 отмечена точка Р так, что B1P:PC1 = 1 : 3. Точки Q и М являются серединами сторон АВ и A1C1 соответственно. Плоскость α параллельна прямой АС и проходит через точки Р и Q.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости α.

б) Найдите расстояние от точки М до плоскости α.

Решение.

а) Проведем через и прямые и параллельные Пусть — середина ребра Тогда — проекция на плоскость основани. Она перпендикулярна средней линии основания, поэтому и

 

Пусть далее — точка на ребре такая, что Тогда и Значит, — проекция на плоскость Если мы докажем, что то и и тогда

 

Очевидно поэтому — параллелограмм и Осталось проверить, что треугольник — прямоугольный.

 

Проверим теорему Пифагора.

 

Доказано.

 

б) Пусть — середина — середина Опустим перпендикуляр из на прямую Поскольку он лежит в плоскости он будет заодно перпендикулрен и прямой Значит, он-то и есть искомое расстояние. Вычислим теперь его длину через площадь треугольника

 

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 227.