СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 521697

Найдите все значения параметра a при каждом из которых система

имеет ровно четыре различных решения.

Решение.

Обозначим Тогда каждому неотрицательному решению системы

соответствуют либо четыре, либо два, либо одно решение. Если или равны нулю, то два, а если оба — то одно.

 

Заметим далее, что если и они не равны нулю, то можно еще поменять местами и и получить 8 решений.

 

Значит либо одно из них равно нулю, тогда другое единице и либо они равны друг другу (и тогда равны ) и Осталось убедиться, что в этих случаях других неотрицательных решений система не имеет.

 

При имеем

Очевидно есть решения и дающие по два решения системы. Других нет, поскольку возводя первое уравнение в четвертую степень и вычитая второе, находим что для неотрицательных чисел возможно только при

 

При имеем

Очевидно есть решение дающее четыре решения системы. Других нет, поскольку выразив из первого уравнения и подставив во второе, получим

Первая скобка имеет корень а вторая корней не имеет.

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 227.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Системы с параметром