Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521753

АК — биссектриса треугольника АВС, причем ВК:КС=2:7. Из точек В и К проведены параллельные прямые, которые пересекают сторону АС в точках D и F соответственно, причем AD:FC=3:14.

а) Докажите, что АВ в 2 раза больше AD.

б) Найдите площадь четырехугольника DBKF, если Р — точка пересечения BD и AK и площадь треугольника АВР равна 27.

Решение.

а) Пусть BK=2x,KC=7x,AD=3y,FC=14y. По теореме Фалеса DF=4y и Значит, AC=21y. По свойству биссектрисы AC:AB=CK:KB, откуда AB=6y, что и требовалось.

б) Заметим, что DP:PB=DA:AB=1:2 по свойству биссектрисы. Значит,

S_{DBKF}=S_{CBD} минус S_{CKF}= дробь, числитель — 81 минус 49, знаменатель — 81 S_{BDC}= дробь, числитель — 32, знаменатель — 81 умножить на 6S_{ADB}= дробь, числитель — 64, знаменатель — 27 умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 S_{APB}=96.

Ответ: б) 96.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 229.
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Теорема Фалеса
Классификатор планиметрии: Треугольники