Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521767

На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Оказалось, что отрезок АК пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ = ВС.

а) Докажите, что ВК = КE.

б) Найдите площадь четырехугольника CDEК, если известно, что АВ = 13, АЕ = 7, АD = 4.

Решение.

а) \mene{C}{D}{A}{E}{K}{B}, откуда, учитывая AD=DC и AE=BC, находим BK=KE.

 

б) По формуле для медианы BD= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 {2 умножить на 13 в степени 2 плюс 2 умножить на 7 в степени 2 минус 8 в степени 2 }= корень из { 93}.

 

По теореме косинусов  косинус \angle ABD= дробь, числитель — 169 плюс 93 минус 16, знаменатель — 26 корень из { 93 }= дробь, числитель — 123, знаменатель — 13 корень из { 93 }.

 

Обозначая BE=x по теореме косинусов получаем 49=169 плюс x в степени 2 минус 26x умножить на дробь, числитель — 123, знаменатель — 13 корень из { 93 }.

 

x в степени 2 минус дробь, числитель — 246, знаменатель — корень из { 93 }x плюс 120=0, x= дробь, числитель — 123, знаменатель — корень из { 93 }\pm дробь, числитель — 63, знаменатель — корень из { 93 }. Поскольку x меньше BD= корень из { 93}, следует взять x= дробь, числитель — 60, знаменатель — корень из { 93 }, то есть ED= дробь, числитель — 33, знаменатель — корень из { 93 } и BE:ED=20:11.

 

\mene{C}{K}{B}{E}{D}{A}, откуда CK:KB=11:10.

 

Наконец, S_{KCDE}=S_{KCA} минус S_{EDA}= дробь, числитель — 11, знаменатель — 21 S_{ABC} минус дробь, числитель — 11, знаменатель — 31 S_{ABD}=( дробь, числитель — 11, знаменатель — 21 минус дробь, числитель — 11, знаменатель — 62 )S_{ABC}= дробь, числитель — 451, знаменатель — 1302 корень из { 14 умножить на 1 умножить на 7 умножить на 6}= дробь, числитель — 451, знаменатель — 1302 умножить на 14 корень из { 3}= дробь, числитель — 451 корень из { 3}, знаменатель — 93 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 451 корень из { 3}, знаменатель — 93 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 231.
Методы геометрии: Свойства медиан, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Многоугольники