Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521767
i

На сто­ро­не ВС тре­уголь­ни­ка АВС от­ме­че­на точка К. Ока­за­лось, что от­ре­зок АК пе­ре­се­ка­ет ме­ди­а­ну ВD в точке Е так, что АЕ  =  ВС.

а)  До­ка­жи­те, что ВК  =  КE.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка CDEК, если из­вест­но, что АВ  =  13, АЕ  =  7, АD  =  4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  \meneCDAEKB, от­ку­да, учи­ты­вая AD=DC и AE=BC, на­хо­дим BK=KE.

 

б)  По фор­му­ле для ме­ди­а­ны BD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби 2 умно­жить на 13 в квад­ра­те плюс 2 умно­жить на 7 в квад­ра­те минус 8 в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 93 конец ар­гу­мен­та .

 

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов ко­си­нус \angle ABD= дробь: чис­ли­тель: 169 плюс 93 минус 16, зна­ме­на­тель: 26 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 93 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 123, зна­ме­на­тель: 13 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 93 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Обо­зна­чая BE=x по тео­ре­ме ко­си­ну­сов по­лу­ча­ем 49=169 плюс x в квад­ра­те минус 26x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 123, зна­ме­на­тель: 13 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 93 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

x в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 246, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 93 конец ар­гу­мен­та конец дроби x плюс 120=0, x= дробь: чис­ли­тель: 123, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 93 конец ар­гу­мен­та конец дроби \pm дробь: чис­ли­тель: 63, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 93 конец ар­гу­мен­та конец дроби . По­сколь­ку x мень­ше BD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 93 конец ар­гу­мен­та , сле­ду­ет взять x= дробь: чис­ли­тель: 60, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 93 конец ар­гу­мен­та конец дроби , то есть ED= дробь: чис­ли­тель: 33, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 93 конец ар­гу­мен­та конец дроби и BE:ED=20:11.

 

\meneCKBEDA, от­ку­да CK:KB=11:10.

 

На­ко­нец, S_KCDE=S_KCA минус S_EDA= дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 21 конец дроби S_ABC минус дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 31 конец дроби S_ABD= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 21 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 62 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка S_ABC=
= дробь: чис­ли­тель: 451, зна­ме­на­тель: 1302 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 умно­жить на 1 умно­жить на 7 умно­жить на 6 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 451, зна­ме­на­тель: 1302 конец дроби умно­жить на 14 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 451 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 93 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 451 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 93 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 231
Методы геометрии: Свой­ства ме­ди­ан, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026