СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 521770

Даны 20 чисел: 2, 3, 4,…, 20, 21.

а) Какое наибольшее количество попарно взаимно простых чисел можно выбрать из приведенных 20 чисел?

б) Докажите, что если из приведенных 20 чисел выбрать любые 12, то обязательно найдутся два числа, из которых одно делится на другое.

в) Пусть 20 приведенных чисел являются соответственно длинами сторон 20 квадратов. Можно ли эти 20 квадратов разделить на две группы так, чтобы суммы площадей квадратов в этих группах были бы одинаковыми?

Решение.

а) Заменим каждое число на один из его простых делителей, от этого взаимная простота чисел не пропадет. Значит, их можно выбрать не более чем — других простых чисел в указанном промежутке нет.

 

б) Рассмотрим у каждого из выбранных чисел максимальный нечетный делитель. Он не больше поэтому различных таких делителей не может быть более Значит, среди наших чисел есть два, у которых эти делители совпадают. Но из чисел и одно всегда делится на другое.

 

в) Сумма площадей этих квадратов равна Выберем несколько квадратов, сумма площадей которых даст тогда сумма площадей остальных квадратов будет ей равна. Например,

 

Ответ: а) 8; в) можно.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 231.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства