Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521824

Касательная в точке А к описанной окружности треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке Е, AD — биссектриса треугольника АВС.

а) Докажите, что АЕ = ЕD.

б) Известно, что точка Е лежит на луче СВ и СЕ = 9, ВЕ = 4,  косинус {AED}= дробь, числитель — 9, знаменатель — 16 . Найдите расстояние от вершины В до прямой АС.

Решение.

а) Обозначим \angle CAD=\angle DAB=\alpha, \angle ACB=\beta, тогда \angle BAE=\beta как угол между касательной и хордой. Тогда \angle DAE=\alpha плюс \beta=180 в степени \circ минус \angle CDA=\angle ADE, поэтому реугольник ADE равнобедренный, что и требовалось.

 

б) По теореме о квадрате касательной AE= корень из { 9 умножить на 4}=6, тогда по теореме косинусов имеем AB в степени 2 =36 плюс 16 минус 48 умножить на дробь, числитель — 9, знаменатель — 16 =25, AB=5.

 

Далее, DB=DE минус BE=AE минус BE=2, CD=3 и по свойству биссектрисы CD:DB=CA:AB, откуда CA= дробь, числитель — 15, знаменатель — 2 .

 

Поскольку BC=BA, находим d(B,CA)= корень из { AB в степени 2 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 AC в степени 2 }= корень из { 25 минус дробь, числитель — 225, знаменатель — 16 }= дробь, числитель — 5, знаменатель — 4 корень из { 7}.

 

Ответ: б)  дробь, числитель — 5, знаменатель — 4 корень из { 7}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 235.
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Свойства касательных, секущих
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур