Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521831

В тупоугольном треугольнике АВС (\angleС — тупой) на высоте ВН как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно.

а) Докажите, что  синус \angle ABC= дробь, числитель — PH, знаменатель — BC минус дробь, числитель — KH, знаменатель — BA .

б) Найдите длину отрезка РК, если известно, что ВА = 13, ВС = 8,  синус \angle ABC= дробь, числитель — 7 корень из 3 , знаменатель — 26 .

Решение.

а)  дробь, числитель — PH, знаменатель — BC минус дробь, числитель — KH, знаменатель — BA = дробь, числитель — PH умножить на BA минус KH умножить на BC, знаменатель — BC умножить на BA = дробь, числитель — 2S_{ABH} минус 2S_{CBH}, знаменатель — 2S_{ABC : синус \angle ABC}= синус \angle ABC. Здесь использовано, что \angle HKB=\angle HPB=90 в степени \circ , поскольку эти углы опираются на диаметр.

 

б)  косинус \angle ABC= корень из { 1 минус дробь, числитель — 147, знаменатель — 676 }= дробь, числитель — 23, знаменатель — 26 , откуда по теореме косинусов AC в степени 2 =169 плюс 64 минус 2 умножить на 8 умножить на 13 умножить на дробь, числитель — 23, знаменатель — 26 =49

и AC=7.

 

S_{ABC}= корень из { 14 умножить на 1 умножить на 7 умножить на 6}=14 корень из { 3}, поэтому BH=4 корень из { 3} и AH= корень из { 13 в степени 2 минус 48}=11, откуда CH=4.

 

По теореме синусов тогда  дробь, числитель — 7, знаменатель — синус \angle ABC = дробь, числитель — 8, знаменатель — синус \angle CAB , откуда  синус \angle CAB= дробь, числитель — 4 корень из { 3}, знаменатель — 13 , поэтому HP=AH умножить на синус \angle CAB= дробь, числитель — 44 корень из { 3}, знаменатель — 13 . В прямоугольном треугольнике CHB имеем CH= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 CB, откуда \angle HCB=60 в степени \circ и HK=HC умножить на синус 60 в степени \circ =2 корень из { 3}.

 

Далее, \angle KHP=\angle CBA как опирающиеся на ону дугу KP в окружности. Значит,  косинус \angle KHP= дробь, числитель — 23, знаменатель — 26 . Тогда по теореме косинусов

KP в степени 2 = дробь, числитель — 44 в степени 2 умножить на 3, знаменатель — 13 в степени 2 плюс 12 минус 2 умножить на дробь, числитель — 88 умножить на 3, знаменатель — 13 умножить на дробь, числитель — 23, знаменатель — 26 = дробь, числитель — 1764, знаменатель — 169 , откуда KP= дробь, числитель — 42, знаменатель — 13 .

Ответ: б)  дробь, числитель — 42, знаменатель — 13 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 236.
Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Треугольники