СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521925

Дан выпуклый четырехугольник ABCD с прямым углом А. Окружность, проходящая через вершины А, В и D пересекает стороны ВС и CD в точках M и N соответственно. Прямые BN и DM пересекаются в точке Р, а прямая СР пересекает сторону AD в точке К.

а) Докажите, что точки А, М, Р и К лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что прямая СK параллельна прямой АМ и АВ = АК = KD = 

Решение.

а) Заметим, что поскольку  — диаметр окружности. Значит, в треугольнике точка P — точка пересечения высот, поэтому Тогда откуда и следует описанность четырехугольника

 

б) По условию и предыдущему пункту Пусть - основание высоты из на Тогда Тогда по свойству пересекающихся хорд откуда и Далее, поэтому По теореме косинусов найдем

Наконец,

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 239.