СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 521928

Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n.

а) Существует ли такое трехзначное число n, что K(n) = 171?

б) Существует ли такое трехзначное число n, что K(n) = 172?

в) Какое наименьшее значение может принимать выражение 4K(n) − n, если n — трехзначное число?

Решение.

а) Да, например

б) Пусть где  — цифры числа Поскольку при делении на квадраты могут давать остатки только или то все они должны быть четны. Если поделить их все на то получим Теперь из тех же соображений все числа нечетны, то есть могут быть равны только или (цифры больше невозможны, поскольку получались бы из цифр, не меньших ). Но даже

в) Каждое слагаемое можно минимизировать независимо от других, причем все слагаемые — квадратные трехчлены, поэтому их минимум (вершина) легко определяется. Нас, правда, интересуют только натуральные значения переменных — они могут быть либо вокруг вершины, либо (если вершина вне промежутка ) в концах отрезка.

Следует выбрать тогда получим

 

Ответ: а) Да; б) Нет; в) − 582.


Аналоги к заданию № 521928: 522100 522128 522154 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 239.