≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 522125

Две окружности касаются внешним образом в точке С. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей — в точке B, отличной от A. Прямая вторично пересекает бóльшую окружность в точке D, прямая вторично пересекает меньшую окружность в точке E.

а) Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.

б) Пусть L — отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны 2 и 3.

Решение.

а) Пусть общая касательная к данным окружностям, проведённая через точку C, пересекает общую касательную AB в точке M. Тогда , то есть медиана CM треугольника ABC равна половине стороны AB. Значит, Тогда поэтому AE — диаметр меньшей окружности. Следовательно, прямая AE перпендикулярна прямой AB. Аналогично докажем, что прямая BD перпендикулярна прямой AB. Прямые AE и BD перпендикулярны одной и той же прямой AB, значит, они параллельны.

б) Пусть радиусы окружностей равны r и R, где r < R. Опустим перпендикуляр OH из центра O меньшей окружности на диаметр BD большей. Тогда

 

 

Опустим перпендикуляр EF из точки E на BD. Тогда

 

 

 

Отрезок AC — высота прямоугольного треугольника ABE, проведённая из вершины прямого угла, а EB и ED — секущие к большей окружности, проведённые из одной точки, поэтому

 

Следовательно,

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 501887: 503149 522151 523378 523403 Все