Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 523380
i

Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых си­сте­ма

си­сте­ма вы­ра­же­ний y= левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2ax плюс a минус 1,x= левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка y в квад­ра­те плюс 2ay плюс a минус 1 конец си­сте­мы .

имеет ровно одно ре­ше­ние.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Си­сте­ма не из­ме­нит­ся, если по­ме­нять x и y ме­ста­ми. Сле­до­ва­тель­но, си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, толь­ко если x=y. По­лу­ча­ем урав­не­ние:

левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a минус 1=0.

Это урав­не­ние долж­но иметь един­ствен­ный ко­рень.

Если a не равно минус 2, то урав­не­ние квад­рат­ное, зна­чит, его дис­кри­ми­нант дол­жен рав­нять­ся нулю:

левая круг­лая скоб­ка 2a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но минус 8a плюс 9=0, от­ку­да a= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

При a= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби по­лу­ча­ем дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби =0, от­ку­да x= минус 0,2. Ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся пара левая круг­лая скоб­ка минус 0,2; минус 0,2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Если a= минус 2, по­лу­ча­ет­ся ли­ней­ное урав­не­ние 5x плюс 3=0, ко­то­рое имеет един­ствен­ное ре­ше­ние x= минус 0,6. Ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся пара левая круг­лая скоб­ка минус 0,6; минус 0,6 пра­вая круг­лая скоб­ка .

По­ка­жем, что в этих слу­ча­ях нет иных ре­ше­ний, где x не равно y. Вы­чтем вто­рое урав­не­ние си­сте­мы из пер­во­го и раз­де­лим по­лу­чен­ное урав­не­ние почлен­но на x минус y не равно 0:

минус 1= левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2a.

При a= минус 2 по­лу­ча­ем урав­не­ние минус 1=0 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4. У этого урав­не­ния ре­ше­ний нет.

При a= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби по­лу­ча­ем y= минус дробь: чис­ли­тель: 26, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби минус x. Под­ста­вим это вы­ра­же­ние в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы:

минус дробь: чис­ли­тель: 26, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби минус x= дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби рав­но­силь­но 25x в квад­ра­те плюс 26x плюс дробь: чис­ли­тель: 233, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби =0.

По­лу­чен­ное урав­не­ние не имеет кор­ней.

 

Ответ: минус 2; дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0

Аналоги к заданию № 523380: 523405 Все

Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние кос­вен­ных ме­то­дов, Ис­поль­зо­ва­ние сим­мет­рий, оце­нок, мо­но­тон­но­сти, Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026