ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 524606 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений a левая круглая скобка x в степени 4 плюс 4 правая круглая скобка =y плюс 2 левая круглая скобка 1 минус |x| правая круглая скобка ,|x| плюс |y|=2 конец системы .$

имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Cистема не меняется при смене знака переменной х. Поэтому, поскольку система должна иметь единственное решение, это решение должно иметь вид (0; y). Найдем, при каких а система будет иметь решения (0; y).

Для х  =  0 система принимает вид

$система выражений 4a=y плюс 2,|y|=2, конец системы .$

откуда $y= \pm 2,$ а тогда $a=1$ или $a=0.$ Осталось проверить, не имеет ли система других решений кроме (0; 2) для $a=1$ и (0; −2) для $a=0.$

Если $a=1,$ то имеем:

$система выражений x в степени 4 плюс 4=y плюс 2 левая круглая скобка 1 минус |x| правая круглая скобка ,|x| плюс |y|=2 конец системы . равносильно система выражений y=x в степени 4 плюс 2|x| плюс 2,|x| плюс x в степени 4 плюс 2|x| плюс 2 =2 конец системы . равносильно система выражений y=x в степени 4 плюс 2|x| плюс 2,x в степени 4 плюс 3|x| =0 конец системы . равносильно система выражений y=2,x=0. конец системы .$ $система выражений x в степени 4 плюс 4=y плюс 2 левая круглая скобка 1 минус |x| правая круглая скобка ,|x| плюс |y|=2 конец системы . равносильно система выражений y=x в степени 4 плюс 2|x| плюс 2,|x| плюс x в степени 4 плюс 2|x| плюс 2 =2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений y=x в степени 4 плюс 2|x| плюс 2,x в степени 4 плюс 3|x| =0 конец системы . равносильно система выражений y=2,x=0. конец системы .$ $система выражений x в степени 4 плюс 4=y плюс 2 левая круглая скобка 1 минус |x| правая круглая скобка ,|x| плюс |y|=2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений y=x в степени 4 плюс 2|x| плюс 2,|x| плюс x в степени 4 плюс 2|x| плюс 2 =2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений y=x в степени 4 плюс 2|x| плюс 2,x в степени 4 плюс 3|x| =0 конец системы . равносильно система выражений y=2,x=0. конец системы .$

Итак, система имеет единственное решение.

Если $a=0,$ то имеем:

$система выражений 0=y плюс 2 левая круглая скобка 1 минус |x| правая круглая скобка ,|x| плюс |y|=2 конец системы . равносильно система выражений y=2|x| минус 2,|x| плюс \left| 2|x| минус 2 |=2. левая круглая скобка * правая круглая скобка конец системы .$

При $x больше или равно 1$ уравнение (*) принимает вид $3x минус 2=2$ и имеет корень $дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$ Следовательно, при $a=0,$ система имеет более одного решения. (Нетрудно показать, что решений 3, но об этом не спрашивают.)

Ответ: $a=1.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получен правильный ответ, но допущена описка или арифметическая ошибка непринципиального характера	3
С помощью верного рассуждения получены значения $a=1$ и $a=0.$	2
Показано, что при a = 1 система имеет единственное решение.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 524607: 524606 Все

Источник: РЕШУ ЕГЭ

Классификатор алгебры: Системы с параметром, Системы уравнений

Методы алгебры: Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности, Перебор случаев

Методы геометрии: Симметрия в решениях

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь