Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 524692

Все целые числа от 1 до 13 выписали в ряд так, что каждое число, начиная со второго, является делителем суммы всех предыдущих чисел.

а) Может ли на последнем месте стоять число 5?

б) Какие числа могут быть на последнем месте?

в) Сколько четных чисел может стоять на третьем месте?

Спрятать решение

Решение.

Сумма чисел от 1 до 13 равна 91.

а) Если число 5 стоит на последнем месте, то сумма предыдущих чисел равна 86. Но 86 не делится на 5. Противоречие.

б) Пусть на последнем месте стоит число х. Тогда сумма всех предыдущих чисел равна 91 − х, и, по условию, она делится на х. Следовательно, 91 минус x=kx, откуда

x= дробь: числитель: 91, знаменатель: k плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 7 умножить на 13, знаменатель: k плюс 1 конец дроби ,

где k — натуральное число. Полученная дробь сократима, только если знаменатель равен 1, 7, 13 или 91, тогда дробь равна 91, 13, 7 или 1 соответственно. Поскольку x не больше 13, заключаем, что на последнем месте могут стоять только числа 13, 7 или 1. Осталось проверить, что оставшиеся числа можно расставить в соответствии с требованиями условия.

Пример расстановки, оканчивающейся числом 1: 12, 6, 9, 3, 10, 8, 4, 13, 5, 7, 11, 2, 1.

Пример расстановки, оканчивающейся числом 7: 9, 3, 4, 8, 2, 13, 1, 10, 5, 11, 6, 12, 7.

Пример расстановки, оканчивающейся числом 13: 11, 1, 2, 7, 3, 8, 4, 9, 5, 10, 12, 6, 13.

в) На третьем месте может быть шесть четных чисел. Приведем примеры соответствующих расстановок:

Ответ: а) нет, б) 1, 7 или 13, в) шесть.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. а;

— обоснованное решение п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 524692: 524658 Все

Источник: РЕШУ ЕГЭ
Классификатор алгебры: Числа и их свойства