Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 525071

Дан треугольник ABC со сторонами AC = 30, BC = 40 и AB = 50. Вписанная в него окружность с центром I касается стороны BC в точке L, M — середина BC, AP — биссектриса треугольника ABC, O — центр описанной около него окружности.

а) Докажите, что P — середина отрезка LM.

б) Пусть прямые OI и AC пересекаются в точке K, а продолжение биссектрисы AP пересекает описанную окружность в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника OKCQ.

Решение.

а) Из теоремы, обратной теореме Пифагора, следует, что треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при вершине C. Пусть D — точка касания вписанной окружности треугольника с катетом AC, r — радиус этой окружности. Тогда CDIL — квадрат, поэтому

CL=IL=r= дробь, числитель — AC плюс BC минус AB, знаменатель — 2 =10.

По свойству биссектрисы треугольника CP:PB=AC:AB=3:5, поэтому CP= дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 BC=15.

Значит,

LP=CP минус CL=5, PM=CM минус CP=5.

Следовательно, LP = PM, что и требовалось доказать.

б) Центр O окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, а так как точка Q — середина дуги BC описанной окружности этого треугольника, точки Q, M и O лежат на серединном перпендикуляре к катету BC.

Пусть F — проекция точки I на среднюю линию OM треугольника ABC. Тогда

OF=OM минус FM=OM минус IL=5,

OI= корень из { OF в степени 2 плюс IF в степени 2 }= корень из { OF в степени 2 плюс LM в степени 2 }=5 корень из 5 .

Отрезок CI — биссектриса треугольника ACP, поэтому AI:IP=AC:CP=2:1. Значит,

AI= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 AP= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 корень из { AC в степени 2 плюс CP в степени 2 }=10 корень из 5 .

Треугольник AIO прямоугольный с прямым углом при вершине I, так как

AO в степени 2 =625=125 плюс 500=(5 корень из 5 ) в степени 2 плюс (10 корень из 5 ) в степени 2 =OI в степени 2 плюс AI в степени 2 ,

поэтому отрезок AI перпендикулярен отрезку OK, то есть биссектриса AI треугольника OAK является его высотой. Значит, AO = AK = 25.

Четырёхугольник OKCQ — трапеция с основаниями CK = AC − AK = 5, OQ = OA = OB = 25 и высотой CM= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BC=20. Следовательно, S_{OKCQ}= дробь, числитель — CK плюс OQ, знаменатель — 2 умножить на CM=300.

 

Ответ: б) 300.

 

Примечание.

Доказательство того, что отрезок AI перпендикулярен отрезку OK, может быть таким. Середина L отрезка CM — проекция точки I на прямую BC, а отрезок CM — проекция отрезка AQ на эту прямую. Значит, I — середина хорды AQ описанной окружности треугольника ABC. Следовательно, отрезок AI перпендикулярен отрезку OK.


Аналоги к заданию № 525071: 525099 Все

Методы геометрии: Свойства биссектрис
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и системы окружностей, Окружности и треугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Ruslan Morozov 28.05.2020 15:59

Другой способ: найдя OF, сразу получаем DK=OF=5 через равные треугольники IDK и IFO. Тогда CK=CD минус DK=5.