СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 525144

Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.

а) Могло ли быть в сборнике 85 задач?

б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?

в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.

Решение.

Пусть Вася в первый день решил a задач, а Петя — b задач. Вася решал задачи n дней, а Петя — m дней. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии. Получим, что за n дней Вася решил задач, а Петя за m дней решил задач.

 

а) Проверим, могли ли мальчики решить 85 задач.

Для Васи: Очевидно, что это уравнение имеет решения в натуральных числах. Например,

Для Пети: Очевидно, что и это уравнение имеет решения в натуральных числах. Например,

Значит, в сборнике могло быть 85 задач.

 

б) Проверим, могло ли в сборнике быть 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней.

Для Пети: Тогда m — один из делителей числа 213. Заметим, что 71 — простое число, и по условию Тогда или , или При любом из этих значений получаем Значит, в сборнике не могло быть 213 задач.

 

в) Если в сборнике меньше 300 задач, то для числа дней, потраченных Петей, имеем: Следовательно,

При получаем тогда Проверим, мог ли Вася за 16 дней решить 289 задач: Левая часть уравнения кратна 8, а правая нет, значит, m не может равняться 17.

Рассмотрим . Имеем Левая часть уравнения кратна 2, а правая нет. Значит, m не может равняться 16.

Рассмотрим . Имеем Левая часть уравнения кратна 15, правая может быть кратна 15 при но тогда Значит, m не может равняться 15.

Рассмотрим . Имеем Это уравнение имеет решение При этом Таким образом, все условия задачи выполнены.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 14.

Источник: Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Ва­ри­ант 2, За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2019
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии