СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 526253

В правильной треугольной пирамиде SABC точка K — делит сторону SC в отношении считая от вершины S, точка N — делит сторону SB в отношении считая от вершины S. Через точки N и K параллельно SA проведена плоскость

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью параллельно прямой BC.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости если известно, что

Решение.

а) Треугольники SNK и SBC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, поэтому отрезок NK параллелен ВС. Поскольку прямая ВС параллельна лежащей в плоскости сечения прямой NK, она параллельна и самой плоскости сечения по признаку параллельности прямой и плоскости.

б) Пусть H — середина BC. Проведём SH и AH и пусть плоскость SHA пересекает по прямой QR (см. рис.). Тогда QR и параллельны, а расстояние от точки B до плоскости равно расстоянию от точки Н до плоскости

В треугольнике SHA имеем: Проведём высоту треугольника НT и найдем её. Пусть тогда тогда, применяя теорему Пифагора для треугольников ATH и STH, получаем:

Тогда

По построению, отрезок НT перпендикулярен ребру SA. В силу параллельности SA и QR, отрезки НT и QR также перпендикулярны. Кроме того, ребро ВС перпендикулярно плоскости SHA по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, а потому и ВС перпендикулярно НT. Но ВС параллельно NK, поэтому НT и NK перпендикулярны. Тем самым, прямая НT перпендикулярна двум пересекающимся прямым NK и QR, лежащим в плоскости сечения, а значит, и всей плоскости сечения.

Треугольники SNK и SBC подобны с коэффициентом поэтому а тогда треугольники QHR и SHA подобны с коэффициентом Это означает, что плоскость сечения делит высоту HT в отношении 2:1, считая от точки Н. Следовательно, расстояние между Н и QR равно двум третьим высоты HT или

Ответ: б)

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Центр, За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2019