СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 526345

В течении n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждые из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.

а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 8. Может ли n быть больше 7?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 4, среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4,5?

в) Известно, что . Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?

Решение.

а) Сумма натуральных чисел, записанных в первый день, равна 8. Следовательно, чисел, записанных в первый день, не более 8. Тогда в день n () записанных чисел не более 1. И это число заведомо больше 8 (т.к. сумма чисел с каждым днем увеличивается). Противоречие с условием (все записанные числа должны быть меньше 6).

б) Рассмотрим допустимую условиями конфигурацию (без учета среднего значения за все дни):

1 день 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3

2 день 5 5 5 5 5 5 5 5 3 1

3 день 5 5 5 5 5 5 5 5 5

Действительно, среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, очевидно, меньше 4. В каждый последующий день чисел записано меньше, чем в предыдущий. А также сумма чисел, записанных в каждый последующий день, больше, чем в предыдущий. Очевидно, что если продолжать приписывать столбец (4 5 5) слева, то эти условия не нарушатся. Можно получить, скажем, такой пример:

1 день 100 четверок и 1 тройка

2 день 98 пятерок, 1 тройка и 1 единица

3 день 99 пятерок

Среднее арифметическое всех этих чисел, очевидно, больше 4,5.

в) Предположим, что в последний (четвертый) день записано одно число. Тогда в первый день записано не менее четырех чисел. Следовательно, в первый день сумма чисел не меньше 4. А в четвертый, соответственно, сумма чисел не меньше 7. Но в четвертый день записано ровно одно число. Противоречие с тем, что максимальное возможное число меньше 6.

Мы показали, что в четвертый день записано как минимум два числа. Тогда в третий день записано как минимум три числа, во второй день как минимум четыре числа, в первый день как минимум пять чисел. Всего на доске как минимум четырнадцать чисел. Такое, действительно, может быть:

1 день 1 1 1 1 1

2 день 3 1 1 1

3 день 5 1 1

4 день 5 5

 

Ответ: а) Нет; б) Да; в)  14.


Аналоги к заданию № 526345: 526541 Все

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 405