Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 526892

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

 система выражений (ay минус ax плюс 2)(y минус x плюс 3a)=0, |xy|=a конец системы .

имеет ровно шесть решений.

Решение.

При a меньше 0 второе уравнение системы, а, значит, и вся система не имеют решений.

Если a = 0, то получаем систему  система выражений y минус x=0,xy=0 конец системы . , которая имеет единственное решение  (0; 0).

Рассмотрим случай a больше 0. Имеем

 система выражений (a(y минус x) плюс 2)(y минус x плюс 3a)=0,|xy|=a. конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений (a(y минус x) плюс 2=0,y минус x плюс 3a=0, конец системы . левая квадратная скобка {\begin{align} xy=a,xy= минус a конец совокупности . . \end{align} }. равносильно система выражений совокупность выражений y=x минус дробь, числитель — 2, знаменатель — a ,y=x минус 3a, конец системы . левая квадратная скобка {\begin{align} y= дробь, числитель — a, знаменатель — x ,y= минус дробь, числитель — a, знаменатель — x конец совокупности . . \end{align} }.

Графиком первого уравнения системы являются две параллельные прямые (на рисунке изображены красным цветом), совпадающие при  дробь, числитель — 2, знаменатель — a =3a равносильно a= корень из { дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 }. Заметим, что при любых положительных значениях a эти две прямые лежат ниже прямой y=x. Графиком второго уравнения системы являются две гиперболы y= дробь, числитель — a, знаменатель — x или y= минус дробь, числитель — a, знаменатель — x (на рисунке изображены синим цветом). Если две прямые совпадают, то у системы не может быть больше четырёх решений. Поэтому  дробь, числитель — 2, знаменатель — a не равно 3a равносильно a не равно корень из { дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 }.

При этом условии гипербола y= дробь, числитель — a, знаменатель — x пересекает каждую из прямых в двух различных точках. Это дает четыре различных решения данной системы (на рисунке — синие точки).

Еще два решения должны получаться при пересечении прямых гиперболой y= минус дробь, числитель — a, знаменатель — x в двух различных точках в четвертой координатной четверти. Для этого нужно, чтобы гипербола дважды пересекала одну из прямых (на рисунке — красные точки), и не имела общих точек с другой прямой. (Ситуация, при которой каждая из прямых имеет одну общую точку с гиперболой и эти точки различны, невозможна.) Для этого нужно, чтобы из двух квадратных уравнений

x в степени 2 минус дробь, числитель — 2, знаменатель — a x плюс a=0 и x в степени 2 минус 3ax плюс a=0

одно имело ровно два различных корня, а другое не имело корней. Дискриминанты этих уравнений должны быть противоположных знаков. Получаем:

 левая круглая скобка дробь, числитель — 4, знаменатель — a в степени 2 минус 4a правая круглая скобка левая круглая скобка 9a в степени 2 минус 4a правая круглая скобка меньше 0 равносильно дробь, числитель — 4 левая круглая скобка a в степени 3 минус 1 правая круглая скобка a(9a минус 4), знаменатель — a в степени 2 больше 0 равносильно совокупность выражений 0 меньше a меньше дробь, числитель — 4, знаменатель — 9 ,a больше 1. конец совокупности .

Учитывая, что  дробь, числитель — 4, знаменатель — 9 меньше корень из { дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 } меньше 1, приходим к ответу.

 

Ответ:  левая круглая скобка 0; дробь, числитель — 4, знаменатель — 9 правая круглая скобка \cup(1; плюс принадлежит fty).


Аналоги к заданию № 526892: 526900 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация «кривых»