СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 526892

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно шесть решений.

Решение.

При второе уравнение системы, а, значит, и вся система не имеют решений.

Если a = 0, то получаем систему которая имеет единственное решение

Рассмотрим случай Имеем

Графиком первого уравнения системы являются две параллельные прямые (на рисунке изображены красным цветом), совпадающие при Заметим, что при любых положительных значениях эти две прямые лежат ниже прямой Графиком второго уравнения системы являются две гиперболы (на рисунке изображены синим цветом). Если две прямые совпадают, то у системы не может быть больше четырёх решений. Поэтому

При этом условии гипербола пересекает каждую из прямых в двух различных точках. Это дает четыре различных решения данной системы (на рисунке — синие точки).

Еще два решения должны получаться при пересечении прямых гиперболой в двух различных точках в четвертой координатной четверти. Для этого нужно, чтобы гипербола дважды пересекала одну из прямых (на рисунке — красные точки), и не имела общих точек с другой прямой. (Ситуация, при которой каждая из прямых имеет одну общую точку с гиперболой и эти точки различны, невозможна.) Для этого нужно, чтобы из двух квадратных уравнений

и

одно имело ровно два различных корня, а другое не имело корней. Дискриминанты этих уравнений должны быть противоположных знаков. Получаем:

Учитывая, что приходим к ответу.

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 526892: 526900 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация «кривых»
Источник/автор: Даниил Рабчевский