Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 526904

Первый набор чисел состоит из чисел 2, 4, 8, ..., 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка . Второй набор состоит из чисел 3, 9, 27, ..., 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка . Числа разбиты на пары. В каждой паре на первом месте — число из первого набора, а на втором — число из второго. В каждой паре два числа умножили друг на друга и полученные произведения сложили.

а) Может ли полученная сумма делиться на 9?

б) Может ли полученная сумма быть больше 1 000 000?

в) Найдите наименьшее возможное значение полученной суммы.

Спрятать решение

Решение.

а) Заметим, что все слагаемые в полученной сумме делятся на 9, кроме того слагаемого, которое содержит тройку из второго набора. Значит, и вся сумма не делится на 9.

б) Может. Пусть, например, перемножили максимальные числа из первого и второго набора, а остальные пары сформировали произвольным образом. Заметим, что 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка больше 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка больше 1000 умножить на 1000. Таким образом, уже одно из слагаемых полученной суммы больше, чем миллион, значит, и вся сумма тем более больше, чем миллион.

в) Наименьшее значение суммы достигается, если умножить наибольшее число из второго набора на наименьшее из первого, второе по величине число из второго набора умножить на следующее за наименьшим числом из первого и т. д., а полученные произведения сложить. Тем самым, наименьшая возможная сумма равна

2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка плюс 2 в квадрате умножить на 3 в степени 9 плюс 2 в кубе умножить на 3 в степени 8 плюс ... плюс 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка умножить на 3 =

 =6 левая круглая скобка 3 в степени 9 плюс 3 в степени 8 умножить на 2 плюс 3 в степени 7 умножить на 2 в квадрате плюс ... плюс 2 в степени 9 правая круглая скобка =6 левая круглая скобка 3 в степени 9 плюс 3 в степени 8 умножить на 2 плюс 3 в степени 7 умножить на 2 в квадрате плюс ... плюс 2 в степени 9 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус 2 правая круглая скобка =6 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка .

Чтобы показать, что найденное значение суммы действительно наименьшее, проведем следующее рассуждение. Рассмотрим в сумме 2 в степени 1 умножить на 3 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка плюс 2 в квадрате умножить на 3 в степени левая круглая скобка k_2 правая круглая скобка плюс ... плюс 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка k_n правая круглая скобка слагаемое 2 в степени i умножить на 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка , содержащее 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка . Если степень двойки i больше 1, то, в данном и предыдущем слагаемых поменяем степени тройки местами, получим из 2 в степени левая круглая скобка i–1 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка k_i минус 1 правая круглая скобка плюс 2 в степени i умножить на 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка величину 2 в степени левая круглая скобка i–1 правая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка плюс 2 в степени i умножить на 3 в степени левая круглая скобка k_i минус 1 правая круглая скобка . При этом сумма уменьшится, поскольку разность старого и нового значений положительна:

 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка i–1 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка k_i минус 1 правая круглая скобка плюс 2 в степени i умножить на 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка i–1 правая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка плюс 2 в степени i умножить на 3 в степени левая круглая скобка k_i минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =

=2 в степени левая круглая скобка i–1 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка k_i минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 10 минус k_i минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка i–1 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка k_i минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 10 минус k_i минус 1 правая круглая скобка плюс 2 правая круглая скобка =

=2 в степени левая круглая скобка i–1 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка k_i минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 10 минус k_i минус 1 правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка 10 минус k_i минус 1 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка = 2 в степени левая круглая скобка i–1 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка k_i минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 10 минус k_i минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0.

Будем продолжать, пока множитель 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка не перейдёт в первое слагаемое 2 в степени 1 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка . Затем поступим так же с множителем 3 в степени 9  — он перейдет во второе слагаемое 2 в квадрате умножить на 3 в степени 9 и т. д. Указанным образом преобразуем исходную сумму в наименьшую возможную сумму 2 в степени 1 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка плюс 2 в квадрате умножить на 3 в степени 9 плюс ... плюс 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка умножить на 3 в степени 1 .

 

Ответ: а) нет; б) да; в) 6 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка .

 

 

Примечание Дмитрия Мухина (Москва).

Подготовленный читатель увидит в задаче перестановочное неравенство, называемое также транснеравенством. Приведем и докажем его.

Теорема. Пусть x_1 меньше или равно x_2... меньше или равно x_n; y_1 меньше или равно y_2... меньше или равно y_n; i_1,i_2, ..., i_n — какая-то перестановка чисел 1, 2, 3, ..., n. Тогда:

x_1y_n плюс x_2y_n минус 1 плюс ... плюс x_ny_1 меньше или равно x_1y_i_1 плюс x_2y_i_2 плюс ... плюс x_ny_i_n, левая круглая скобка 1 правая круглая скобка

 

x_1y_i_1 плюс x_2y_i_2 плюс ... плюс x_ny_i_n меньше или равно x_1y_1} плюс x_2y_2} плюс ... плюс x_ny_n}. левая круглая скобка 2 правая круглая скобка

Доказательство. Применим метод математической индукции. Проверим базу индукции: если x_1 меньше или равно x_2, а y_1 меньше или равно y_2, то

x_1y_2 плюс x_2y_1 меньше или равно x_1y_1 плюс x_2y_2 равносильно левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка y_2 минус y_1 правая круглая скобка меньше или равно 0.

Полученное неравенство верно, так как множители имеют разные знаки.

Индукционный переход: предположим, что утверждение верно при n=k, докажем, что тогда оно верно и при n=k плюс 1. Если y_i_k плюс 1=y_1, то неравенство сводится к предположению индукции. Если y_i_k плюс 1 не равно y_1, то поменяем эти множители местами:

x_1y_k плюс 1 плюс x_2y_k плюс ... плюс x_jy_i_k плюс 1 плюс ... плюс x_k плюс 1y_1 меньше или равно x_1y_i_1 плюс x_2y_i_2 плюс ... плюс x_jy_i_k плюс 1 плюс ... плюс x_k плюс 1y_1 меньше или равно x_1y_i_1 плюс x_2y_i_2 плюс ... плюс x_jy_1 плюс ... плюс x_k плюс 1y_i_k плюс 1.

Здесь первое неравенство следует из предположения индукции, а второе — из базы индукции.

Тем самым, по принципу математической индукции, неравенство (1) доказано. Аналогично доказывается неравенство (2).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства