Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527171

На диагонали LN параллелограмма KLMN отмены точки P и Q, причем LP=PQ=QN.

а) Докажите, что прямые KP и KQ проходят через середины сторон параллелограмма.

б) Найдите отношение площади параллелограмма KLMN к площади пятиугольника MRPQS, где R — точка пересечения KP со стороной LM, S — точка пересечения KQ с MN.

Решение.

а) Пусть LN=6x, тогда LO=3x, где O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Далее, LP=PQ=QN=2x, откуда LP:PO=2:1. В треугольнике KLM отрезок LO — медиана, значит P — точка пересечения медиан. Итак, KP — медиана, поэтому R — середина LM. Аналогично для треугольника KMN получаем, что S — середина MN.

б) Обозначим площадь параллелограмма за S. Тогда

S_{KLM}=S_{KNM}=S_{KLN}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 S.

Тогда

S_{KLR}=S_{KNS}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 S= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 S

и

S_{KPQ}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 S= дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 S.

Значит,

S_{PRMSQ}=S минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 S минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 S минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 S= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 S.

 

Ответ: б) 3:1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 240.
Классификатор планиметрии: Треугольники