Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527196

Точка M пересечения медиан треугольника ABC, вершина A и середины сторон AB и AC лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольники AKB и BKM подобны, где K — середина стороны BC.

б) Найдите длину AK, если BC=6 корень из { 3}.

Решение.

а) Имеем: \angle BMK=\angle AMN=\angle ALN=\angle ABK (вертикальные углы, опирающиеся на одну дугу, соответственные), поэтому треугольники подобны по двум углам, угол K у них общий.

б) Пусть AK=3x, тогда AM=2x, MK=x, поскольку медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1. Из подобия треугольников AKB и BKM получаем:  дробь, числитель — AK, знаменатель — KB = дробь, числитель — BK, знаменатель — KM , то есть BK в степени 2 =AK умножить на KM=3x в степени 2 , откуда x= дробь, числитель — BK, знаменатель — корень из { 3 }= дробь, числитель — BC, знаменатель — 2 корень из { 3 }=3 и AK=3x=9.

 

Ответ: AK=9.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 242.
Методы геометрии: Свойства медиан, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники