Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527212

Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника ABC (угол С = 90°). Окружность радиуса  корень из { 15} проходит через точки А, С, D и пересекает сторону AB в точке E так, что AE:AB=3:5. Отрезки СЕ и AD пересекаются в точке О.

а) Докажите, что CO=OE.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Решение.

а) Заметим, что AD — диаметр этой окружности, поскольку угол ACD — прямой. Тогда и угол AED прямой, поскольку опирается на диаметр. Прямоугольные треугольники AED и ACD равны по гипотенузе и острому углу (AD — биссектриса), поэтому AE=AC. Значит, треугольник AEC равнобедренный, поэтому его биссектриса совпадает с медианой. Итак, CO=OE, что и требовалось доказать.

б) Пусть AC=AE=3x, тогда AB=5x и BC= корень из { AB в степени 2 минус AC в степени 2 }=4x. Поскольку AD — биссектриса,

CD:DB=CA:AB=3:5.

Значит, CD= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 x. Тогда:

60=4R в степени 2 =AD в степени 2 =AC в степени 2 плюс CD в степени 2 =9x в степени 2 плюс дробь, числитель — 9, знаменатель — 4 x в степени 2 равносильно x в степени 2 = дробь, числитель — 16, знаменатель — 3 .

Далее:

S_{ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AC умножить на CB= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 3x умножить на 4x=6x в степени 2 =32.

 

Ответ: 32.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 244.
Методы геометрии: Свойства биссектрис
Классификатор планиметрии: Треугольники