Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527220

Биссектриса AD и высота BE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке О. Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через вершину А, середину стороны АС и пересекает сторону AB в точке K так, что AK:KB=1:3.

а) Докажите, что AD делит площадь треугольника ABC в соотношении 1:2.

б) Найдите длину стороны BC, если радиус окружности R= корень из { 2}.

Решение.

а) Пусть T — cередина AC. Равнобедренные треугольники AOT и AOK равны (у них равны боковые стороны и углы при основании), поэтому AT=AK. Значит,  дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 AB, AB=2AC. По свойству биссектрисы тогда BD=2DC и S_{ABD}:S_{ADC}=2:1 по свойству треугольников с общей высотой.

б) Поскольку OE — высота равнобедренного треугольника AOT, она проходит внутри треугольника, Значит, точки на стороне AC лежат в порядке A, E, T, C. Далее, AE=ET, поэтому AE= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 AC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 AB. Следовательно BO:OE=8:1, поскольку AO — биссектриса треугольника BAE.

Обозначим угол BAE за 2\alpha. Тогда из прямоугольных треугольников AEO и AEB получаем OE=AE тангенс \alpha, BE=AE тангенс 2\alpha.

Тогда  тангенс 2\alpha=9 тангенс \alpha, откуда  дробь, числитель — 2 тангенс \alpha, знаменатель — 1 минус тангенс в степени 2 \alpha =9 тангенс \alpha,  тангенс \alpha= дробь, числитель — корень из { 7}, знаменатель — 3 . Значит,  косинус в степени 2 \alpha= дробь, числитель — 1, знаменатель — 1 плюс тангенс в степени 2 \alpha = дробь, числитель — 9, знаменатель — 16 и  косинус \alpha= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 , откуда:

AE=AO умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 = дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 корень из { 2},

AC=4AE=3 корень из { 2},

AB=2AC=6 корень из { 2}

и

 косинус \angle BAC= косинус 2\alpha=2 косинус в степени 2 \alpha минус 1= дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 .

По теореме косинусов для треугольника BAC имеем:

BC в степени 2 =18 плюс 72 минус 2 умножить на 3 корень из { 2} умножить на 6 корень из { 2} умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 =90 минус 9=81 равносильно BC=9.

 

Ответ: б) 9.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 245.
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Треугольники