Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527249

В треугольнике ABC угол C тупой, а точка D выбрана на продолжении AB за точку B так, что \angle ACD=135 в степени circ. Точка D' симметрична точке D относительно прямой BC, точка D'' симметрична точке D’ относительно прямой AC и лежит на прямой BC. Известно, что  корень из { 3} умножить на BC=CD'', AC=6.

а) Докажите, что треугольник CBD — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Решение.

Если отразить точку относительно двух пересекающихся прямых, она повернется вокруг точки их пересечения на удвоенный угол между ними. Пусть \angle ACB=\alpha, BC=x. Тогда \angle DCB=135 в степени \circ минус \alpha, \angle D''CA=180 в степени \circ минус \alpha и 135 в степени \circ минус \alpha плюс 180 в степени \circ =2\alpha, откуда \alpha=105 в степени \circ . Кроме того, CD=CD'=CD''=x корень из { 3}.

а) По теореме косинусов для треугольника BCD получаем:

BD в степени 2 =x в степени 2 плюс 3x в степени 2 минус 2x в степени 2 корень из { 3} умножить на косинус \angle BCD=x в степени 2 ,

поэтому BD=x=BC.

б) Имеем:

\angle CAD=180 в степени \circ минус \angle ACD минус \angle ADC=180 в степени \circ минус 135 в степени \circ минус 30 в степени \circ =15 в степени \circ .

По теореме синусов для треугольника ACD имеем:

 дробь, числитель — AC, знаменатель — синус 30 в степени \circ = дробь, числитель — CD, знаменатель — синус 15 в степени \circ равносильно дробь, числитель — 6, знаменатель — синус 30 в степени \circ = дробь, числитель — x корень из { 3}, знаменатель — синус 15 в степени \circ равносильно x=4 корень из { 3} синус 15 в степени \circ .

Далее:

S_{ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 6 умножить на x умножить на синус \angle ACB=3 умножить на 4 корень из { 3} синус 15 в степени \circ умножить на косинус 15 в степени \circ =6 корень из { 3} синус 30 в степени \circ =3 корень из { 3}.

Ответ: 3 корень из { 3}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 247.
Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Треугольники