Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527259

Продолжения медиан AM и BK треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках E и F соответственно, причем AE:AM=2:1, BF:BK=3:2.

а) Докажите, что прямая AB параллельна прямой CE.

б) Найти углы треугольника ABC.

Решение.

а) По условию диагонали четырехугольника ABEC делятся точкой пересечения пополам, поэтому он параллелограмм и прямая AB параллельна прямой CE

б) Если параллелограмм вписан в окружность, то он прямоугольник, поэтому \angle CAB=90 в степени \circ . Кроме того, BC — диаметр окружности, а M — ее центр. Пусть O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Обозначим OM=x, OK=y. Тогда OB=2y, AO=2x, AE=2AM=6x, ME=3x=MB=MC, BF= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 BK= дробь, числитель — 9, знаменатель — 2 y, KF= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 y. Применим теорему о равенстве произведений отрезков хорд:

AK умножить на KC=FK умножить на KB= дробь, числитель — 9y в степени 2 , знаменатель — 2 ,

поэтому AK=KC= дробь, числитель — 3y, знаменатель — корень из { 2 }. Далее:

AO умножить на OE=OB умножить на OF,

поэтому 8x в степени 2 =5y в степени 2 , x= дробь, числитель — корень из { 5}y, знаменатель — 2 корень из { 2 }. Значит,

 косинус \angle ACB= дробь, числитель — AC, знаменатель — CB = дробь, числитель — KC, знаменатель — MC = дробь, числитель — дробь, числитель — 3y, знаменатель — корень из { 2 , знаменатель — } {3 умножить на дробь, числитель — корень из { 5}y, знаменатель — 2 корень из { 2 }}= дробь, числитель — 2, знаменатель — корень из { 5 }.

Итак, \angle ACB=\arccos дробь, числитель — 2, знаменатель — корень из { 5 }, тогда \angle ABC=\arcsin дробь, числитель — 2, знаменатель — корень из { 5 }.

 

Ответ: \angle ACB=\arccos дробь, числитель — 2, знаменатель — корень из { 5 }, \angle ABC=\arcsin дробь, числитель — 2, знаменатель — корень из { 5 }, \angle CAB=90 в степени \circ .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 248.
Методы геометрии: Свойства хорд
Классификатор планиметрии: Треугольники