СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 527268

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет решения.

Решение.

Если второе уравнение дает что невозможно. Во всех остальных случаях из второго уравнения следует Подставим это в первое уравнение и преобразуем.

Отметим еще, что если то из второго уравнения получаем, что но пара никогда не годится в первое уравнение. Значит, можно поделить первое уравнение на y. имеем:

Если это уравнение не выполняется никогда. В противном случае поделим на x:

Исследуем функцию

При имеем

При имеем:

поэтому на отрицательном луче функция принимает все положительные значения, кроме, может быть (как мы помним, брать на самом деле нельзя). Нетрудно убедиться, что (это значение получено решением уравнения ), поэтому такое значение тоже есть. С другой стороны, выражение положительно при а выражение положительно при Поэтому при функция принимает в точности все положительные значения.

При для функции сохраняется та же формула поэтому при значения функции положительны (а все положительные уже и так есть). Осталось установить ее поведение на интервале Взяв ее производную, получим Корень числителя на это и (ясно что это именно максимум, поскольку знаменатель производной положителен, а числитель убывает на поэтому производная сначала положительна, а потом отрицательна). При имеем Итак, на этом интервале функция принмает значения

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 249.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Системы с параметром