Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527304

В окружности с центром в точке О радиуса 4 проведены хорда AB и диаметр AK, образующий с хордой угол  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 8 . В точке B проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра AK в точке С.

а) Докажите, что треугольник OBC — равнобедренный

б) Найдите длину медианы AM треугольника ABC.

Решение.

а) Дуга BK (а следовательно и угол BOC) равна 2\angle BAK= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 по теореме о вписанном угле. Треугольник OBC прямоугольный, поскольку касательная перепендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. То есть \angle OBC= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 . Тогда третий угол треугольника OBC равен

 Пи минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 = дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 =\angle BOC,

откуда OB=BC.

б) Мы знаем, что \angle BAK= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 8 , \angle BCA= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 , поэтому \angle ABC= дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 8 . Кроме того, BC=BO=4. По теореме синусов тогда

 дробь, числитель — AC, знаменатель — синус дробь, числитель — 5 Пи {8, знаменатель — } = дробь, числитель — AB, знаменатель — синус дробь, числитель — Пи {4, знаменатель — } = дробь, числитель — BC, знаменатель — синус дробь, числитель — Пи {8, знаменатель — } ,

откуда

AC= дробь, числитель — 4 синус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 8 , знаменатель — { синус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 8 } и AB= дробь, числитель — 4 синус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 , знаменатель — { синус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 8 }

Наконец, по формуле медианы треугольника имеем:

AM= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 корень из { 2AB в степени 2 плюс 2AC в степени 2 минус BC в степени 2 }= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 корень из { дробь, числитель — 32 синус в степени 2 дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 8 , знаменатель — { синус в степени 2 дробь, числитель — Пи , знаменатель — 8 } плюс дробь, числитель — 32 синус в степени 2 дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 , знаменатель — { синус в степени 2 дробь, числитель — Пи , знаменатель — 8 } минус 16}=

= дробь, числитель — 2, знаменатель — синус дробь, числитель — Пи {8, знаменатель — } корень из { 2 синус в степени 2 дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 8 плюс 2 синус в степени 2 дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 минус синус в степени 2 дробь, числитель — Пи , знаменатель — 8 }= дробь, числитель — 2, знаменатель — синус дробь, числитель — Пи {8, знаменатель — } корень из { 2 косинус в степени 2 дробь, числитель — Пи , знаменатель — 8 плюс 1 минус синус в степени 2 дробь, числитель — Пи , знаменатель — 8 }=

= дробь, числитель — 2, знаменатель — синус дробь, числитель — Пи {8, знаменатель — } корень из { косинус в степени 2 дробь, числитель — Пи , знаменатель — 8 плюс 1 плюс косинус в степени 2 дробь, числитель — Пи , знаменатель — 8 минус синус в степени 2 дробь, числитель — Пи , знаменатель — 8 }= дробь, числитель — 2, знаменатель — синус дробь, числитель — Пи {8, знаменатель — } корень из { дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 косинус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс 1 плюс косинус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 }= дробь, числитель — корень из { 6 плюс 3 корень из { 2}}, знаменатель — синус дробь, числитель — Пи {8, знаменатель — } .

Ответ: AM= дробь, числитель — корень из { 6 плюс 3 корень из { 2}}, знаменатель — синус дробь, числитель — Пи {8, знаменатель — } .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 250.
Методы геометрии: Свойства медиан, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники