Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 527357

В треугольной пирамиде ABCD ребра AB и CD взаимно перпендикулярны, AD=BC, \angle DAC= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , \angle ACD= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , угол между ребром DC и гранью ABC равен  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

а) Докажите, что середина ребра AB равноудалена от плоскости ACD и плоскости BCD.

б) Найдите угол между ребром AB и гранью ACD.

Спрятать решение

Решение.

Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными вдоль AC, AD и перпендикуляра к плоскости ACD. За единицу длины выберем длину AD=AC, поскольку ADC — прямоугольный треугольник с углом 45°. По условию, прямая AB перпендикулярна прямой CD, поэтому и проекция AB на плоскость ACD перпендикулярна CD. Значит, проекция точки B лежит на биссектрисе угла DAC, поэтому координаты B по x и y равны. Пусть B левая круглая скобка a,a,b правая круглая скобка  — координаты этой точки. Координаты остальных вершин таковы — A левая круглая скобка 0;0;0 правая круглая скобка , C левая круглая скобка 1;0;0 правая круглая скобка , D левая круглая скобка 0;1;0 правая круглая скобка . По условию, BC=1, то есть  левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс a в квадрате плюс b в квадрате =1. Найдем уравнение плоскости ABC. Допустим оно имеет вид Ax плюс By плюс Cz плюс D=0. Подставляя координаты точек, получим

D=0,    A плюс D=0,    aA плюс aB плюс bC плюс D=0.

Из первых двух уравнений следует A=D=0, для последнего уравнения можно взять B= минус b, C=a. Итак, уравнение плоскости  минус by плюс az=0. Вектор \overrightarrowDC имеет координаты  левая фигурная скобка 1; минус 1;0 правая фигурная скобка . Посчитаем угол между прямой и плоскостью. Имеем:

 синус \angle левая круглая скобка DC,ABC правая круглая скобка = дробь: числитель: |b|, знаменатель: корень из 2 корень из a в квадрате плюс b в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Это уравнение сводится к a в квадрате =b в квадрате , откуда a=b. Тогда

1=BC= корень из левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс a в квадрате плюс b в квадрате = корень из 3a в квадрате минус 2a плюс 1,

откуда

3a в квадрате минус 2a=0 равносильно совокупность выражений a=0,a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности .

Первый вариант дает точку A, а вовсе не B. Тогда b=\pm дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , но мы можем считать, что b больше 0, изначально поместив пирамиду в верхнее полупространство.

a) Найдем уравнение грани BCD. Допустим оно имеет вид Ax плюс By плюс Cz плюс D=0. Подставляя координаты точек, получим

 дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби A плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби B плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби C плюс D=0,    A плюс D=0,    B плюс D=0.

Возьмем D= минус 2, тогда из последних двух уравнений A=B=2 и тогда из первого C= минус 1. Итак, уравнение плоскости BCD имеет вид 2x плюс 2y минус z минус 2=0. Середина AB имеет координаты  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка . Расстояние от нее до плоскости ACD равно ее z-координате, то есть  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби . Вычислим расстояние до BCD:

 дробь: числитель: |2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 1 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 2|, знаменатель: корень из 2 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 1 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,

что и требовалось доказать.

б) Вектор \overrightarrowAB сонаправлен вектору  левая фигурная скобка 1;1;1 правая фигурная скобка поэтому нужно посчитать угол между этим вектором и плоскостью z=0.

 синус \angle левая круглая скобка AB,ACD правая круглая скобка = дробь: числитель: 2 плюс 2 минус 1, знаменатель: корень из 2 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 1 в квадрате корень из 1 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 1 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби .

Ответ: б)  арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 254.