Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527359

Четырехугольник, один из углов которого равен \arccos левая круглая скобка дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 правая круглая скобка , вписан в окружность радиуса 2 корень из { 10} и описан около окружности радиуса 3.

а) Найдите площадь четырехугольника.

б) Найдите угол между диагоналями четырехугольника.

Решение.

Пусть это четырехугольник ABCD, причем \angle A=\arccos дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 . Тогда  косинус \angle A= дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 ,  синус \angle A= дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 . Поскольку четырехугольник вписанный, \angle A плюс \angle C=180 в степени \circ . Значит,  косинус \angle C= минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 ,  синус \angle C= дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 . Пусть, далее, AB=a, AD=b, DC=b плюс x, тогда, из-за описанности,

BC=AB плюс CD минус AD=a плюс x

возможно x меньше 0, если на самом деле DC меньше AD.

По теореме синусов для треугольника ADB получим:  дробь, числитель — DB, знаменатель — дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 =2 умножить на 2 корень из { 10}, откуда DB= дробь, числитель — 16, знаменатель — 5 корень из { 10}. Найдем двумя способами площадь четырехугольника ABCD. Во-первых, она равна

p_{ABCD} умножить на r=3(a плюс b плюс x).

Во-вторых,

S_{ABCD}=S_{ABD} плюс S_{CBD}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (AD умножить на AB синус \angle A плюс CD умножить на CB синус \angle C)= дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 (ab плюс (a плюс x)(b плюс x)).

Следовательно,

 дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 (ab плюс (a плюс x)(b плюс x))=3(a плюс b плюс x).

Кроме того, запишем теоремы косинусов для треугольников DAB и DCB. В итоге получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

\left\{\begin{aligned} новая строка ab плюс (a плюс x)(b плюс x)= дробь, числитель — 15, знаменатель — 2 (a плюс b плюс x), новая строка a в степени 2 плюс b в степени 2 минус дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 ab= дробь, числитель — 512, знаменатель — 5 , новая строка (a плюс x) в степени 2 плюс (b плюс x) в степени 2 плюс дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 (a плюс x)(b плюс x)= дробь, числитель — 512, знаменатель — 5 . \end{aligned}.

Вычитая из последнего уравнения второе, находим:

2ax плюс 2bx плюс 2x в степени 2 плюс дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 (ab плюс (a плюс x)(b плюс x))=0.

Преобразуем, учитывая первое уравнение:

2x(a плюс b плюс x) плюс 9(a плюс b плюс x)=0 равносильно (2x плюс 9)(a плюс b плюс x)=0.

Ясно что a плюс b плюс x больше 0, поскольку это полупериметр. Значит, x= минус дробь, числитель — 9, знаменатель — 2 . Теперь сделаем замену s=a плюс b, p=ab и запишем первые два уравнения.

\left\{\begin{aligned} новая строка 2ab плюс (a плюс b)x плюс x в степени 2 = дробь, числитель — 15, знаменатель — 2 (a плюс b плюс x), новая строка (a плюс b) в степени 2 минус дробь, числитель — 16, знаменатель — 5 ab= дробь, числитель — 512, знаменатель — 5 ; \end{aligned}.

 

\left\{\begin{aligned} новая строка 2p минус дробь, числитель — 9, знаменатель — 2 s плюс дробь, числитель — 81, знаменатель — 4 = дробь, числитель — 15, знаменатель — 2 левая круглая скобка s минус дробь, числитель — 9, знаменатель — 2 правая круглая скобка , новая строка s в степени 2 минус дробь, числитель — 16, знаменатель — 5 p= дробь, числитель — 512, знаменатель — 5 \end{aligned}. равносильно \left\{\begin{aligned} новая строка p=6s минус 27, новая строка 5s в степени 2 минус 16p=512. \end{aligned}.

Отсюда

5s в степени 2 минус 16(6s минус 27) минус 512=0 равносильно 5s в степени 2 минус 96s минус 80=0 равносильно

 равносильно (s минус 20)(5s плюс 4)=0 равносильно совокупность выражений s=20,s= минус дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 (невозможно). конец совокупности .

Итак, s=20, p=6s минус 27=93. Тогда a, b — корни квадратного уравнения t в степени 2 минус 20t плюс 93=0, то есть они равны 10\pm корень из { 7}.

а) Имеем:

S=3(a плюс b плюс x)=3 левая круглая скобка 20 минус дробь, числитель — 9, знаменатель — 2 правая круглая скобка =46 дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

б) По теореме Птолемея:

AD умножить на BC плюс AB умножить на DC=AC умножить на BD.

Отсюда

AC умножить на BD=b(a плюс x) плюс a(b плюс x)=2ab плюс (a плюс b)x=2 умножить на 93 минус 20 умножить на дробь, числитель — 9, знаменатель — 2 =96.

C другой стороны,

S_{ABCD}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на AC умножить на BD умножить на синус \angle (AC,BD),

откуда

 синус \angle (AC,BD)= дробь, числитель — 93, знаменатель — 96 = дробь, числитель — 31, знаменатель — 32 .

Ответ: а) 46 дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ; б) \arcsin дробь, числитель — 31, знаменатель — 32 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 254.
Методы геометрии: Метод площадей
Классификатор планиметрии: Окружность, вписанная в четырехугольник, Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Треугольники