Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527403

В прямоугольном треугольнике ABC из точки E, расположенной в середине катета BC, опущен перпендикуляр EL на гипотенузу AB, AE= корень из { 10}EL, BC больше AC.

а) Найдите углы треугольника ABC.

б) Найдите отношение  дробь, числитель — AE, знаменатель — CL .

Решение.

Если взять треугольник, подобный данному, то в нем все углы и отношения отрезков будут такими же. Будем сразу считать, что EL=1, AE= корень из { 10}. По теореме Пифагора для треугольника ALE имеем AL= корень из { 10 минус 1}=3.

а) Обозначим BL=x. По теореме Пифагора для треугольника BLE получим BE= корень из { x в степени 2 плюс 1}. Значит, и EC= корень из { x в степени 2 плюс 1}. Тогда по теореме Пифагора для треугольника ACE получим:

AC= корень из { 10 минус EC в степени 2 }= корень из { 9 минус x в степени 2 }.

Наконец, по теореме Пифагора для треугольника ABC получим:

9 минус x в степени 2 плюс 4(x в степени 2 плюс 1)=(3 плюс x) в степени 2 равносильно 2x в степени 2 минус 6x плюс 4=0 равносильно совокупность выражений x=1,x=2. конец совокупности .

Первый вариант невозможен, поскольку тогда BC=AC. Значит, x=2, AC= корень из { 5}, AB=5, \angle B=\arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 5 }, \angle A=\arcsin дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 5 }, \angle C=90 в степени \circ .

б) По теореме косинусов для треугольника CBL получаем:

CL в степени 2 =20 плюс 4 минус 2 умножить на 2 умножить на 2 корень из { 5} умножить на дробь, числитель — 2, знаменатель — корень из { 5 }=8,

откуда CL=2 корень из { 2} и AE:CL= дробь, числитель — корень из { 5}, знаменатель — 2 .

 

Ответ: а) \angle B=\arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 5 }, \angle A=\arcsin дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 5 }, \angle C=90 в степени \circ ; б)  дробь, числитель — корень из { 5}, знаменатель — 2 .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 257.
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Треугольники