Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527453

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается основания AC в точке D и боковой стороны AB в точке E. Точка F — середина стороны AB, а точка G — точка пересечения окружности и отрезка FD, отличная от D. Касательная к окружности, проходящая через точку G, пересекает сторону AB в точке H. Известно, что FH:HE=2:3.

а) Докажите, что \angle HGE =\angle EDG.

б) Найдите \angle BCA.

Решение.

а) Оба этих угла равны половине дуги GE — первый как угол между касательной HG и хордой GE, второй — как вписанный угол, опирающийся на дугу GE.

б) Разберем два случая — точка F лежит на AE или на BE.

В первом случае прямая FD параллельна прямой BC как средняя линия треугольника. Обозначим \angle BAC=\angle BCA=\alpha, тогда \angle FDA=\alpha, \angle AFD=180 в степени \circ минус 2\alpha. Обозначим за I центр вписанной окружности, тогда

\angle IDF=\angle IDA минус \angle FDA=90 в степени \circ минус \alpha.

Поскольку треугольник IGD — равнобедренный, \angle IGD=90 в степени \circ минус \alpha, тогда

\angle HGD=90 в степени \circ минус (90 в степени \circ минус \alpha)=\alpha

(здесь использована прямая GH перпендикулярная прямой IG, поскольку GH — касательная). Тогда смежный с ним угол \angle FGH=180 в степени \circ минус \alpha и

\angle FHG=180 в степени \circ минус \angle HFG минус \angle FGH=

=180 в степени \circ минус (180 в степени \circ минус \alpha) минус (180 в степени \circ минус 2\alpha)=3\alpha минус 180 в степени \circ .

По свойству касательных, проведенных из одной точки, HE=HG. Пусть HE=HG=3x, FH=2x, тогда по теореме синусов для треугольника FGH получаем:

 дробь, числитель — FH, знаменатель — синус (180 в степени \circ минус \alpha) = дробь, числитель — HG, знаменатель — синус (180 в степени \circ минус 2\alpha) ;

 дробь, числитель — 2x, знаменатель — синус \alpha = дробь, числитель — 3x, знаменатель — синус 2\alpha равносильно 2 синус 2\alpha=3 синус \alpha равносильно

 равносильно 4 синус \alpha косинус \alpha=3 синус \alpha равносильно косинус \alpha= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 меньше дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 .

поэтому \alpha больше 60 в степени \circ и угол 3\alpha минус 180 в степени \circ существует. В этом случае \angle BCA=\alpha=\arccos дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 .

Во втором случае прямая FD параллельна прямой BC как средняя линия треугольника. Обозначим \angle BAC=\angle BCA=\alpha, тогда \angle FDA=\alpha, \angle AFD=180 в степени \circ минус 2\alpha. Обозначим за I центр вписанной окружности, тогда

\angle IDF=\angle IDA минус \angle FDA=90 в степени \circ минус \alpha.

Поскольку треугольник IGD — равнобедренный, \angle IGD=90 в степени \circ минус \alpha, тогда

\angle FGH=90 в степени \circ минус (90 в степени \circ минус \alpha)=\alpha

(здесь использовано прямая GH перпендикулярна прямой IG, поскольку GH — касательная). Тогда угол

\angle FHG=180 в степени \circ минус \angle HFG минус \alpha=\angle AFD минус \alpha=180 минус 3\alpha.

По свойству касательных, проведенных из одной точки, HE=HG. Пусть HE=HG=3x, FH=2x, тогда по теореме синусов для треугольника FGH получаем  дробь, числитель — FH, знаменатель — синус \alpha = дробь, числитель — HG, знаменатель — 2\alpha ,  дробь, числитель — 2x, знаменатель — синус \alpha = дробь, числитель — 3x, знаменатель — синус 2\alpha . Это то же самое уравнение, что и в случае 1, поэтому  косинус \alpha= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 меньше дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 , поэтому \alpha больше 60 в степени \circ и угол 180 в степени \circ минус 3\alpha не существует. Поэтому такой случай невозможен.

 

Ответ: \arccos дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 262.
Методы геометрии: Свойства касательных, секущих, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружность, вписанная в треугольник