Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527460

Окружность, построенная на стороне BC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Прямые СМ и ВN пересекаются в точке P. Точка О — середина АР.

а) Докажите, что треугольник ОМN равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ОМN, если известно, что AM = 3, BM = 9, AN = 4.

Решение.

а) Поскольку углы \angle BMC и BNC опираются на диаметр, они прямые. То есть CM и BN — высоты треугольника (и Значит, он остроугольный, иначе хоть одна из точек M и N лежала бы на продолжении стороны), а P — его точка пересечения высот. Тогда NO=PO=MO как медианы прямоугольных треугольников ANP и AMP, равные половине общей гипотенузы.

б) По теореме о произведении отрезков секущих получаем AM умножить на AB=AN умножить на AC, откуда AC=9 и CN=9 минус 4=5. По теореме Пифагора для треугольника BNA получим

BN= корень из { AB в степени 2 минус AN в степени 2 }=8 корень из { 2}.

По теореме Пифагора для треугольника BNC получим

BC= корень из { NB в степени 2 плюс CN в степени 2 }=3 корень из { 17}.

Как мы знаем из п. а),

OM=ON=OP=OA,

то есть точки A, M, P, N лежат на окружности с центром в точке O. Поэтому

S_{MON}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 OM умножить на ON умножить на синус \angle MON=

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AO в степени 2 умножить на синус 2\angle MAN= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 AP в степени 2 умножить на косинус \angle BAC синус \angle BAC

(замена угла основана на теореме о вписанном угле — центральный угол MON вдвое больше вписанного MAN).

По теореме косинусов для треугольника BAC имеем

153=144 плюс 81 минус 2 умножить на 12 умножить на 9 косинус \angle BAC,

откуда  косинус \angle BAC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 .

По теореме Менелая для треугольника ABN и прямой MPC имеем  дробь, числитель — AM, знаменатель — MB умножить на дробь, числитель — BP, знаменатель — PN умножить на дробь, числитель — NC, знаменатель — CA =1, откуда

BP:PN=27:5;

PN= дробь, числитель — 5, знаменатель — 32 BN= дробь, числитель — 5 корень из { 2}, знаменатель — 4 .

По теореме Пифагора для треугольника APN находим

AP= корень из { 16 плюс дробь, числитель — 25, знаменатель — 8 }= дробь, числитель — 3 корень из { 17}, знаменатель — 2 корень из { 2 }.

Окончательно

S_{MON}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 AP в степени 2 умножить на косинус \angle BAC синус \angle BAC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 умножить на дробь, числитель — 153, знаменатель — 8 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на корень из { 1 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 9 }= дробь, числитель — 17 корень из { 2}, знаменатель — 16 .

Ответ:  дробь, числитель — 17 корень из { 2}, знаменатель — 16 .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 263.
Методы геометрии: Свойства касательных, секущих, Теорема Менелая, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Треугольники