Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527564

Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.

а) Докажите, что \angle CAN=\angle CMN.

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если  тангенс \angle BAC= дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 .

Решение.

а) Четырехугольник AMNC — вписанный, поскольку

\angle AMN плюс \angle ACN=90 в степени \circ плюс 90 в степени \circ =180 в степени \circ .

Тогда \angle CAN=\angle CMN как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу описанной окружности AMNC.

б) Имеем:

\angle BNA=180 в степени \circ минус \angle CNA=90 в степени \circ плюс (90 в степени \circ минус \angle CNA)=90 в степени \circ плюс \angle CAN=90 в степени \circ плюс \angle CMN=\angle BMC,

поэтому треугольники BMC и BNA подобны по двум углам (угол B у них общий). Значит,

R_{ANB}:R_{CBM}=AB:BC= дробь, числитель — 1, знаменатель — синус \angle BAC .

По условию  тангенс \angle BAC= дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 , откуда  синус \angle BAC= дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 и ответ 5:4.

 

Ответ: 5:4.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 270.
Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Треугольники