Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527571

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, а BH — высота этого треугольника.

а) Докажите, что углы ABH и CBO равны.

б) Найдите BH, если AB=16, BC =18, BH =BO.

Решение.

а) Поскольку OB=OC, получаем:

\angle OBC= дробь, числитель — 180 в степени \circ минус \angle BOC, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 180 в степени \circ минус 2\angle BAC, знаменатель — 2 =90 в степени \circ минус \angle BAH=\angle ABH

б) Опустим перпендикуляр OT на BC. Обозначим BH=BO=CO=R. Тогда из прямоугольных треугольников ABH и OBT получаем:

 косинус \angle ABH= дробь, числитель — BH, знаменатель — AB = дробь, числитель — R, знаменатель — 16 и  косинус \angle OBT= дробь, числитель — BT, знаменатель — BO = дробь, числитель — BC, знаменатель — 2BO = дробь, числитель — 18, знаменатель — 2R .

По пункту а) получаем, что  дробь, числитель — R, знаменатель — 16 = дробь, числитель — 18, знаменатель — 2R , откуда R в степени 2 =144 и BH=R=12.

 

Ответ: 12.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 271.
Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Треугольники