Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527600

Окружность радиуса 2 корень из { 3} касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках K и P и пересекает строну AB в точках M и N (точка N между точками B и M). Известно, что MP и AC параллельны, CK = 2, BP = 6.

а) Найдите угол BCA.

б) Найдите площадь треугольника BKN.

Решение.

а) Обозначим за O центр окружности. CP=CK=2 как отрезки касательных, проведенных из одной точки. Тогда в прямоугольном треугольнике COP имеем CP=2, OP=2 корень из { 3}, откуда \angle OCP=60 в степени \circ и \angle BCA=2\angle OCP=120 в степени \circ .

б) Введем координаты с началом в точке C и осями, направленными по CA и перпендикулярной прямой. Тогда координаты некоторых точек мы знаем сразу — C(0;0), K(2;0), A(8;0), O(2;2 корень из { 3}). Кроме того, уравнение прямой CP это y= тангенс 120 в степени \circ x, то есть y= минус корень из { 3}x. Значит, координаты точки P имеют вид (p, минус корень из { 3}p) при этом CP=2. Значит,  корень из { p в степени 2 плюс 3p в степени 2 }=2, откуда p= минус 1 (p=1 не подходит, поскольку не лежит на нужном луче).

Поскольку прямая PM параллельна прямой CA, то прямая PM перпендикулярна прямой OK. При этом POM — равнобедренный треугольник. Значит, P и M симметричны относительно вертикальной прямой OK. Отсюда находим координаты M(5; корень из { 3}). Найдем уравнение прямой AM. Оно имеет вид

 дробь, числитель — x минус 8, знаменатель — 5 минус 8 = дробь, числитель — y минус 0, знаменатель — корень из { 3 минус 0},

то есть y= дробь, числитель — x минус 8, знаменатель — минус корень из { 3 }.

Теперь можно найти координаты точки B как точки пересечения AM и PC. Имеем:

 дробь, числитель — x минус 8, знаменатель — минус корень из { 3 }= минус корень из { 3}x,

откуда x= минус 4, y=4 корень из { 3}.

Далее, найдем на AM точку, удаленную на R=2 корень из { 3} от точки O. Пусть ее координата по y равна t, тогда координата по x равна 8 минус корень из { 3}t и расстояние до O получается:

2 корень из { 3}= корень из { (2 минус 8 плюс корень из { 3}t) в степени 2 плюс (2 корень из { 3} минус t) в степени 2 },

откуда

12=3t в степени 2 минус 12 корень из { 3} t плюс 36 плюс 12 минус 4 корень из { 3}t плюс t в степени 2 равносильно t в степени 2 минус 4 корень из { 3}t плюс 9=0.

Один из корней этого уравнения  корень из { 3} (y — координата точки M), поэтому другой —  дробь, числитель — 9, знаменатель — корень из { 3 }=3 корень из { 3}. Значит, N( минус 1;3 корень из { 3}). Тогда

BN= корень из { ( минус 4 плюс 1) в степени 2 плюс (4 корень из { 3} минус 3 корень из { 3}) в степени 2 }=2 корень из { 3}.

Запишем уравнение BN в виде x плюс корень из { 3}y минус 8=0 и вычислим расстояние от K до этой прямой: ##

 дробь, числитель — \abs{2 плюс корень из { 3} умножить на 0 минус 8}, знаменатель — корень из { 1 в степени 2 плюс корень из { 3 в степени 2 }}=3.

Значит,

S_{BKN}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BN умножить на d(K,BN)=3 корень из { 3}.

Ответ: а) 120 в степени \circ ; б) 3 корень из { 3}.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 275.
Методы геометрии: Метод координат
Классификатор планиметрии: Треугольники