Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 13 № 528869

а) Решите уравнение  дробь, числитель — ( тангенс x плюс корень из { 3}) умножить на логарифм по основанию 13 (2 синус в степени 2 x), знаменатель — логарифм по основанию 47 ( корень из { 2 косинус x)}=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу  левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая круглая скобка .

Решение.

а) Заметим, что выражения под логарифмами должны быть положительны, а знаменатель не равен нулю, то есть корни уравнения должны удовлетворять следующим условиям:

 система выражений синус x не равно 0, косинус x больше 0, косинус x не равно дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 2 }. конец системы .

При выполнении этих условий уравнение равносильно совокупности

 совокупность выражений тангенс x плюс корень из { 3}=0, логарифм по основанию 13 (2 синус в степени 2 x)=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений тангенс x= минус корень из { 3}, синус в степени 2 x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений тангенс x= минус корень из { 3}, синус x=\pm дробь, числитель — 1, знаменатель — { корень из 2 } конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс Пи k,x=\pm дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

Условиям удовлетворяет только x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .

 

б) Имеем:

 минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 меньше минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k меньше дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 равносильно минус 1 меньше минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 плюс 4k меньше 1.

Единственным решением полученного двойного неравенства является k=0, которому соответствует корень  минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 .

 

Ответ: а) \left\{ минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k : k принадлежит Z \}; б)  минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 287.