Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д6 C2 № 528870

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 на боковом ребре BB1 взята точка M так, что BM : MB1 = 2 : 5. Плоскость α проходит через точки M и D и параллельна прямой A1C1. Плоскость α пересекает ребро CC1 в точке Q.

а) Докажите, что ребро CC1 делится точкой Q в отношении 1 : 6.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если CD = 12, AA = 14.

Решение.

а) Пусть плоскость α пересекает ребро AA1 в точке R. Заметим, что полученное сечение DRMQ — параллелограмм. Его диагональ QR параллельна прямым AC и A1C1. Пусть теперь O — точка пересечения диагоналей DRMQ, а O′ — её проекция на основание ABCD. Заметим теперь, ARQC — прямоугольник, и AR=OO'=QC. Точка O — середина MD, а O′ — середина BD. Следовательно, OO′ — средняя линия треугольника DBM. Тогда

QC=OO'= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 MB= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 2, знаменатель — 7 BB_1= дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 CC_1,

то есть CQ:QC_1=1:6.

б) Заметим, что треугольники DAR и DCQ равны, следовательно, DR=DQ и, значит, DRMQ — ромб. Найдём его диагонали:

RQ=AC=CD корень из { 2}=12 корень из { 2},

MD= корень из { BD в степени 2 плюс BM в степени 2 }= корень из { (12 корень из { 2}) в степени 2 плюс левая круглая скобка дробь, числитель — 2, знаменатель — 7 умножить на 14 правая круглая скобка в степени 2 }= корень из { 288 плюс 16}= корень из { 304}=4 корень из { 19}.

Тогда

S_{DRMQ}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 RQ умножить на MD= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 12 корень из { 2} умножить на 4 корень из { 10}=24 корень из { 38}.

Ответ: б) 24 корень из { 38}.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 287.