Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 15 № 528871

Решите неравенство:  логарифм по основанию 3 (x минус 1) умножить на логарифм по основанию 3 (3 в степени x плюс 1 плюс 3) умножить на логарифм по основанию x минус 1 (3 в степени x плюс 1)\ge6.

Решение.

В силу формулы  логарифм по основанию a b умножить на логарифм по основанию c d = логарифм по основанию a d умножить на логарифм по основанию c b, имеем:

 логарифм по основанию 3 (x минус 1) умножить на логарифм по основанию x минус 1 (3 в степени x плюс 1) = логарифм по основанию 3 (3 в степени x плюс 1) умножить на логарифм по основанию x минус 1 (x минус 1) = логарифм по основанию 3 (3 в степени x плюс 1),

при условиях x больше 1, x не равно 2.

Используя формулу  логарифм по основанию a (bc) = логарифм по основанию a b плюс логарифм по основанию a c, получаем:

 логарифм по основанию 3 (3 в степени x плюс 1 плюс 3)= логарифм по основанию 3 (3(3 в степени x плюс 1))= логарифм по основанию 3 3 плюс логарифм по основанию 3 (3 в степени x плюс 1) =1 плюс логарифм по основанию 3 (3 в степени x плюс 1).

Пусть t = логарифм по основанию 3 (3 в степени x плюс 1). Заметим, что t больше 0 при любых значениях x. Имеем:

t(1 плюс t) \ge6 равносильно t в степени 2 плюс t минус 6\ge0 равносильно (t плюс 3)(t минус 2)}\ge0 \underset{t больше 0}{\mathop{ равносильно }} t больше или равно 2.

Вернёмся к исходной переменой:

 система выражений логарифм по основанию 3 (3 в степени x плюс 1)\ge2,x больше 1,x не равно 2 конец системы . равносильно система выражений 3 в степени x плюс 1\ge9,x больше 1,x не равно 2 конец системы . равносильно система выражений 3 в степени x \ge8,x больше 1,x не равно 2 конец системы . равносильно система выражений x больше или равно логарифм по основанию 3 8,x больше 1,x не равно 2 конец системы . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 3 8 меньше или равно x меньше 2,x больше 2. конец совокупности .

 

Ответ:  левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 8; 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 287.