Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 528872

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, пересекающиеся в точке P. Известно, что АС = 26, DE = 10.

а) Найдите отношение радиусов окружностей, вписанных в треугольники DEP и ACP.

б) Найдите расстояние между серединами отрезков АС и DE.

Решение.

а) Рассмотрим окружность, построенную на AC как на диаметре. Углы AEC и ADC равны 90°, следовательно, E и D лежат на этой окружности. Углы EDA и ECA равны как вписанные, значит, треугольники EDP и APC подобным по двум углам. Коэффициент подобия равен  дробь, числитель — ED, знаменатель — AC = дробь, числитель — 5, знаменатель — 13 , значит, и отношение радиусов равно 5 : 13.

б) Пусть M — середина ED, N — середина AC, AC — диаметр окружности, проходящей через E и D. Тогда

NE=ND= дробь, числитель — AC, знаменатель — 2 =13,

следовательно, треугольнике NED — равнобедренный, NM — медиана и высота.

Тогда

MN в степени 2 ={13 в степени 2 минус 5 в степени 2 =12 в степени 2 ,

откуда MN=12.

 

Ответ: а) 5 : 13, б) 12.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 287.