Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д13 C5 № 528873

Александре и Всеволоду 1 сентября неимоверно повезло открыть в банке по вкладу на одинаковые суммы и на один и тот же срок меньше года. У Александры первые несколько месяцев процентная ставка составила 81,44% в месяц, а на оставшийся срок — 5% в месяц. У Всеволода на протяжении всего срока ставка составила 26% в месяц. Суммы накопленных процентов в конце каждого месяца добавлялись к остатку на счете, при этом клиент мог снять деньги только в конце срока. Какое наибольшее количество месяцев у Александры могла действовать ставка 81,44%, если к моменту закрытия вкладов суммы на счетах обоих героев оказались одинаковыми?

Решение.

Пусть сумма вклада равна S, и вклад был открыт на n месяцев. По условию, n принадлежит N , n меньше 12. Пусть первые k месяцев у Александры процентная ставка составила 81,44% в месяц. Тогда

S умножить на 1,26 в степени n =S умножить на 1,8144 в степени k умножить на 1,05 в степени n минус k .

Откуда

 левая круглая скобка дробь, числитель — 1,26, знаменатель — 1,05 правая круглая скобка в степени n = левая круглая скобка дробь, числитель — 1,8144, знаменатель — 1,05 правая круглая скобка в степени k равносильно левая круглая скобка дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 правая круглая скобка в степени n = левая круглая скобка дробь, числитель — 1,8144, знаменатель — 1,05 правая круглая скобка в степени k .

Преобразуем дробь:

 дробь, числитель — 1,8144, знаменатель — 1,05 = дробь, числитель — 18144, знаменатель — 105 умножить на 100 = дробь, числитель — 4 умножить на 4536 , знаменатель — 100 умножить на 21 умножить на 5 = дробь, числитель — 9 умножить на 504 , знаменатель — 25 умножить на 7 умножить на 3 умножить на 5 = дробь, числитель — 3 умножить на 72 , знаменатель — 25 умножить на 5 = дробь, числитель — 3 в степени 3 умножить на 2 в степени 3 , знаменатель — 5 в степени 3 = левая круглая скобка дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 правая круглая скобка в степени 3 .

Тогда

 левая круглая скобка дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 правая круглая скобка в степени n = левая круглая скобка дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 правая круглая скобка в степени 3k равносильно n=3k.

С учётом ограничений на n существует только три решения: n=3; k=1, n=6; k=2 или n=9; k=3. Значит, наибольшее количество месяцев, которое могла действовать ставка 81,44%, равно трём.

 

Ответ: 3 месяца.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 287.