Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 528874

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

 система выражений 2axy плюс 2x минус 2y плюс 3=0,x плюс 2y плюс xy плюс 1=0 конец системы .

имеет единственное решение.

Решение.

Преобразуем систему:

 система выражений 2axy плюс 2x минус 2y плюс 3=0,x плюс 2y плюс xy плюс 1=0 конец системы . равносильно система выражений 2x минус 2y плюс 3= минус 2axy,x плюс 2y плюс 1= минус xy конец системы . равносильно система выражений 2x минус 2y плюс 3=2a левая круглая скобка x плюс 2y плюс 1 правая круглая скобка ,x плюс 2y плюс 1= минус xy конец системы . равносильно

 равносильно система выражений 2x минус 2y плюс 3=2a левая круглая скобка x плюс 2y плюс 1 правая круглая скобка ,x плюс 1= минус xy минус 2y конец системы . равносильно система выражений 2x минус 2y плюс 3=2a левая круглая скобка x плюс 2y плюс 1 правая круглая скобка ,x плюс 1= минус левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка y. конец системы .

Заметим, что x= минус 2 не является корнем второго уравнения, а значит, и решением системы. Тогда, обе части второго уравнения системы можно разделить на  минус x минус 2.

 система выражений 2x минус 2y плюс 3=2a левая круглая скобка x плюс 2y плюс 1 правая круглая скобка ,y= минус дробь, числитель — x плюс 1, знаменатель — x плюс 2 конец системы . равносильно система выражений 2x плюс дробь, числитель — 2(x плюс 1), знаменатель — x плюс 2 плюс 3=2a левая круглая скобка x минус дробь, числитель — 2(x плюс 1), знаменатель — x плюс 2 плюс 1 правая круглая скобка ,y= минус дробь, числитель — x плюс 1, знаменатель — x плюс 2 конец системы . равносильно

 равносильно система выражений дробь, числитель — 2x в степени 2 плюс 9x плюс 8, знаменатель — x плюс 2 = дробь, числитель — 2a(x в степени 2 плюс x), знаменатель — x плюс 2 ,y= минус дробь, числитель — x плюс 1, знаменатель — x плюс 2 конец системы . равносильно система выражений дробь, числитель — 2(1 минус a)x в степени 2 плюс (9 минус 2a)x плюс 8, знаменатель — x плюс 2 =0,y= минус дробь, числитель — x плюс 1, знаменатель — x плюс 2 . конец системы .

Во втором уравнении каждому значению x, кроме x= минус 2, соответствует ровно одно значение y. Значит, количество решений системы равно количеству решений первого уравнения системы. Заметим, что

 дробь, числитель — 2(1 минус a)x в степени 2 плюс (9 минус 2a)x плюс 8, знаменатель — x плюс 2 =0 равносильно система выражений 2(1 минус a)x в степени 2 плюс (9 минус 2a)x плюс 8=0, (*) x не равно минус 2. конец системы .

Требуется найти при каких значениях параметра a уравнение (*) имеет ровно один корень, не равный −2.

При a=1 уравнение является линейным и имеет один корень x= минус дробь, числитель — 8, знаменатель — 7 .

При a не равно 1 уравнение является квадратным. Найдём его дискриминант и исследуем его:

D=(9 минус 2a) в степени 2 минус 64(1 минус a)=4a в степени 2 плюс 28a плюс 17,

4a в степени 2 плюс 28a плюс 17=0 равносильно a= дробь, числитель — минус 7\pm4 корень из 2 , знаменатель — 2 .

Получаем, что:

— при a= дробь, числитель — минус 7\pm4 корень из 2 , знаменатель — 2 уравнение (*) имеет ровно один корень;

— при  дробь, числитель — минус 7 минус 4 корень из 2 , знаменатель — 2 меньше a меньше дробь, числитель — минус 7 плюс 4 корень из 2 , знаменатель — 2 уравнение (*) не имеет корней;

— при a меньше дробь, числитель — минус 7 минус 4 корень из 2 , знаменатель — 2 или дробь, числитель — минус 7 плюс 4 корень из 2 , знаменатель — 2 меньше a меньше 1 или a больше 1 уравнение (*) имеет два корня.

Осталось выяснить, при каких значениях параметра a корнем уравнения (*) является число −2. Подставим:

2(1 минус a) умножить на ( минус 2) в степени 2 плюс (9 минус 2a) умножить на ( минус 2) плюс 8=0 равносильно a= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

Значит, исходная система имеет единственное решение при a= дробь, числитель — минус 7\pm4 корень из 2 , знаменатель — 2 , или a= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , или a=1.

 

Ответ: a= дробь, числитель — минус 7\pm4 корень из 2 , знаменатель — 2 , a= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , a=1.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 287.