Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д6 C2 № 529298

В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной 2. Боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно 1. Точка F — середина AB.

а) Найдите угол между прямыми SF и AC.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку F параллельно прямым BD и .

Решение.

а) Прямые SF и AC — скрещивающиеся. Через точку F проведём прямую FG параллельно AC, где G — точка на BC. Искомый угол равен углу SFG. Рассмотрим треугольник SFG, в нём

SF=FG= корень из { 2},

SG= корень из { SA в степени 2 плюс AB в степени 2 плюс BG в степени 2 }= корень из { 1 в степени 2 плюс 2 в степени 2 плюс 1 в степени 2 }= корень из { 6}.

Тогда по теореме косинусов получаем:

SG в степени 2 =SF в степени 2 плюс FG в степени 2 минус 2SF умножить на FG умножить на косинус \angle SFG равносильно

 равносильно 6=2 плюс 2 минус 2 корень из { 2} умножить на корень из { 2} косинус \angle SFG равносильно

 равносильно косинус \angle = минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 равносильно \angle SFG=120 в степени circ.

Значит, (\widehat{SF,AC})=60 в степени circ.

б) Проведём через точку F прямую, параллельную BD, и K — точка её пересечения с AD, а H — с AC. Тогда K — середина AD, а H — середина AO, где O — точка пересечения диагоналей основания. Через H проведём прямую, параллельную SC, и L — точка пересечения её с SA. Треугольник FLK — искомое сечение, при этом LF=LK, следовательно, LH его высота, FK= корень из { 2}. Треугольники ALH и ASC подобны,  дробь, числитель — LH, знаменатель — SC = дробь, числитель — AH, знаменатель — AC = дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 . Получаем:

LH= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 SC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 корень из { SA в степени 2 плюс AB в степени 2 плюс BC в степени 2 }= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 корень из { 1 плюс 4 плюс 4}= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 ,

S_{FLK}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 FK умножить на LH= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 корень из { 2} умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 = дробь, числитель — 3 корень из { 2}, знаменатель — 8 .

Ответ: а) 60°; б)  дробь, числитель — 3 корень из { 2}, знаменатель — 8 .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 289.