Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 529300

В треугольнике ABC биссектриса угла B пересекает описанную окружность этого треугольника в точке F. Точка E — центр окружности, касающейся стороны АС и продолжений сторон AB и BC (вневписанной окружности). Точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC.

а) Докажите, что отрезки AF и OF равны.

б) Найдите длину отрезка CF, если OE = 14.

Решение.

а) Углы FAC и FBC равны как вписанные, AO — биссектриса, поэтому

\angle BAO=\angle OAC,

\angle FOA=\angle OBA плюс \angle OAB=\angle FAC плюс \angle OAC=\angle FAO,

значит, треугольник FAO — равнобедренный, поэтому OF=AF.

б) Точка E лежит на пересечении биссектрисы угла B и биссектрисы внешнего угла A. Имеем:

\angle OAE= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 \angle BAC плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (180 в степени circ минус \angle BAC)=90 в степени circ,

следовательно, треугольник OAE — прямоугольный. Далее, AF=FO, значит, AF — медиана. Найдём её:

AF= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 OE=7.

Теперь рассмотрим треугольник AFC:

\angle ACF=\angle ABF=\angle FBC=\angle FAC,

значит, AF=FC=7.

 

Ответ: 7.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 289.