Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д13 C5 № 529301

Всеволод и Александра в один день открыли в банке по вкладу на сумму 1 млн руб. с возможностью частичного снятия средств. Вместо выплаты процентов в конце очередного месяца банк увеличивал размер вклада на некоторую фиксированную сумму, но только в том случае, если клиент в течение данного месяца не снимал деньги со счета. Кроме того, Всеволод попал под условия бонусной акции, поэтому его ежемесячная прибавка оказалась выше, чем у Александры. Когда вклад Всеволода достиг суммы 1,2 млн руб., он каждый месяц с марта по август 2019 года снимал со счета по 25 тыс. руб., а вклад Александры продолжал ежемесячно расти. В конце июля 2019 года суммы на вкладах оказались одинаковыми, а спустя некоторое время сравнялись повторно. Определите размер вкладов Всеволода и Александры, когда они сравнялись повторно, если после августа деньги со счетов не снимались.

Решение.

Введём следующие обозначения:

n — число месяцев от момента открытия вклада до марта 2019 года;

x — сумма в тыс. руб., на которую банк увеличивает вклад Всеволода;

k — число месяцев от августа 2019 года до повторного равенства сумм вкладов;

y — сумма в тыс. руб., на которую банк увеличивает вклад Александры.

Тогда выполняются следующие условия:

 через n месяцев сумма на счете Всеволода равна 1200 тыс. руб.: 1000 плюс nx=1200;

 через (n плюс 5) месяцев, в июле 2019 года, суммы на вкладах равны: 1000 плюс (n плюс 5)y=1200 минус 5 умножить на 25;

 через k месяцев после августа 2019 года суммы повторно равны: 1200 минус 5 умножить на 25 минус 25 плюс kx=1200 минус 5 умножить на 25 плюс (k плюс 1)y.

Требуется найти S=1200 минус 5 умножить на 25 минус 25 плюс kx = 1050 плюс kx из системы уравнений:

 система выражений 1000 плюс nx=1200,1000 плюс (n плюс 5)y=1200 минус 5 умножить на 25,1200 минус 5 умножить на 25 минус 25 плюс kx=1200 минус 5 умножить на 25 плюс (k плюс 1)y конец системы . равносильно система выражений nx=200,(n плюс 5)y=75,kx=25 плюс (k плюс 1)y конец системы . \underset{n больше 0}{\mathop{ равносильно }} система выражений x= дробь, числитель — 200, знаменатель — n ,y= дробь, числитель — 75, знаменатель — n плюс 5 , дробь, числитель — 200k, знаменатель — n минус дробь, числитель — 75(k плюс 1), знаменатель — n плюс 5 =25. конец системы .

Преобразуем третье уравнение системы:

 дробь, числитель — 8k, знаменатель — n минус дробь, числитель — 3(k плюс 1), знаменатель — n плюс 5 =1 \underset{n больше 0}{\mathop{ равносильно }} 8kn плюс 40k минус 3kn минус 3n=n в степени 2 плюс 5n равносильно n в степени 2 плюс 8n минус 5kn минус 40k=0 равносильно (n плюс 8)(n минус 5k)=0 \underset{n больше 0}{\mathop{ равносильно }} n=5k.

Подставив полученное значение n в первое уравнение системы, получаем

5kx=200 равносильно kx=40.

Тогда искомое значение

S= 1050 плюс 40=1090 тыс. руб.

Ответ: 1 090 000 рублей.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 289.