Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 529302

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

( синус x минус a)( тангенс x минус a)=0

имеет единственное решение на интервале  левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ; дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка .

Решение.

Исходное уравнение равносильно совокупности

 совокупность выражений система выражений синус x=a, косинус x не равно 0, конец системы . тангенс x=a. конец совокупности .

Уравнение  тангенс x=a на интервале  левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ; дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка при a больше или равно минус 1 имеет один корень, при a меньше минус 1 имеет два корня (см. верхний рисунок).

Система

 система выражений синус x=a, косинус x не равно 0 конец системы .

на интервале  левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ; дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка при a больше или равно 1 не имеет корней, при  дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 меньше a меньше 1 имеет два корня, при  минус 1 меньше a меньше или равно дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 имеет один корень, при a меньше или равно минус 1 не имеет корней (см. нижний рисунок).

Выясним, при каких значениях a корни уравнений  тангенс x=a и  синус x=a совпадают. Для этого решим уравнение  тангенс x= синус x:

 тангенс x= синус x равносильно тангенс x минус синус x=0 равносильно синус x левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — косинус x минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0 косинус x=1 конец совокупности . равносильно синус x=0.

Значит, корни уравнений  тангенс x=a и  синус x=a совпадают только при a=0.

Суммируя все случаи, получаем, что исходное уравнение на интервале  левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ; дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка :

— при a больше или равно 1 имеет один корень;

— при  дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 меньше a меньше 1 — три корня;

— при 0 меньше a меньше или равно дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 — два корня;

— при a=0один корень;

— при  минус 1 меньше a меньше 0 — два корня;

— при a= минус 1один корень;

— при a меньше минус 1 — два корня.

 

Ответ: \{ минус 1; 0 \}\cup [1; плюс принадлежит fty).

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 289.