Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 529732

Решите неравенство:  левая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 2 в кубе x плюс 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 в квадрате x минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x правая круглая скобка конец дроби плюс логарифм по основанию левая круглая скобка \tfracx правая круглая скобка 4 левая круглая скобка 256x в степени 7 правая круглая скобка правая круглая скобка : левая круглая скобка 8 плюс дробь: числитель: 127, знаменатель: x минус 16 конец дроби правая круглая скобка \geqslant0.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем первую скобку. Пусть t= логарифм по основанию 2 x, тогда

 логарифм по основанию 2 в квадрате x минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 в квадрате x минус логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 4=t в квадрате минус t минус 2,

откуда для первого слагаемого получаем:

 дробь: числитель: t в кубе плюс 1, знаменатель: t в квадрате минус t минус 2 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: t в квадрате минус t плюс 1, знаменатель: t минус 2 конец дроби , t не равно минус 1.

Во втором слагаемом перейдем к основанию 2:

 логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 256x в степени 7 правая круглая скобка = дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 256x в степени 7 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x в степени 7 плюс логарифм по основанию 2 256, знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 4 конец дроби = дробь: числитель: 7 логарифм по основанию 2 x плюс 8, знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 2 конец дроби = дробь: числитель: 7t плюс 8, знаменатель: t минус 2 конец дроби .

Тогда сумма слагаемых в первой скобке равна:

 дробь: числитель: t в квадрате минус t плюс 1, знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 7t плюс 8, знаменатель: t минус 2 конец дроби = дробь: числитель: t в квадрате плюс 6t плюс 9, знаменатель: t минус 2 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t минус 2 конец дроби , t не равно минус 1.

Преобразуем вторую скобку:

8 плюс дробь: числитель: 127, знаменатель: x минус 16 конец дроби = дробь: числитель: 8x минус 128 плюс 127, знаменатель: x минус 16 конец дроби = дробь: числитель: 8x минус 1, знаменатель: x минус 16 конец дроби .

Тогда при условии  логарифм по основанию 2 x не равно минус 1, то есть при 0 меньше x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , запишем исходное неравенство в упрощенном виде и применим метод интервалов (см. рис.):

 дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 2 конец дроби : дробь: числитель: 8x минус 1, знаменатель: x минус 16 конец дроби \geqslant0 равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 16 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 8x минус 1 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 ,x не равно 16 конец системы . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 4,x больше 16. конец совокупности .

Ответ:  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 16; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 291.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства